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数学と数学教育
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素数指数表現と約数構造図

 亀井図式を見ながら、いくつかの素数を1つずつかけあわせてできる自然数と、そうではない自然数との違いを考えていたら、結城浩『数学ガール/フェルマーの最終定理』の「第3章 互いに素」に出てくる「素数指数表現」のことを思い出しました。

 「素数指数表現」というのは、自然数を素因数分解して、素因数の指数に注目し、その指数だけを並べて表記する方法です。

(例)


 この表記方法でいくと、210は



となり、素数を2、3、5、7の4種に限れば、<1,1,1,1>と表していいことになります。ついでに、かっことコンマをはずして1111としてもいいことにします。同じ方法で210の約数を表現すると、4ケタの1と0の組み合わせで表せるので、4次元のハッセ図の要素につけた記号と一致します。



 このハッセ図は、もともとは要素が4つの集合{a,b,c,d}のベキ集合の順序関係を表したもので、各要素が含まれることを1、含まれないことを0と表しているので、自然数の整除関係を素数指数表現で表したときと同じになるのが(あたりまえだけど)面白いです。

 直観主義論理のハッセ図においても、素数指数表現を取り入れると、次のようになります。



 古典論理に付け加えた青い部分の1ケタめに「2」が現れて、特徴がよりはっきりします。

 亀井先生の「999999」の約数構造図も、素数指数表現で表すと、その構造がさらによく見えると思いました。素数を3、7、11、13、37の5種に限って、

 00000から始まって、01111で終わる4次元の図
 10000から始まって、11111で終わる4次元の図
 20000から始まって、21111で終わる4次元の図
 30000から始まって、31111で終わる4次元の図

が平行線でつながっています(きのう「平行移動」と書いてしまいましたが、2次元の図としては平行移動だけれど、考え方としては「垂直に」移動したものになります)。数値が5桁なので5次元の図なのですが、左端の数値をそれぞれ0、1、2、3で固定しており、5次元の中にある4次元の図と考えるとわかりやすいかな、と思いました。
  
 一方、6次元の図は、00000から始まって11111で終わる5次元の図(立方体4つ分)を2つかいて、下方の図には末尾に0をつけ、上方の図には末尾に1をつけて、000000から始まって111111で終わる図を作ったつもりです。↓



 1と0しか使ってはいけない世界では、数字がnケタのときn次元の立方体になるわけですが、亀井先生は数字を5桁に固定して、そのかわり、うち1ケタを2でも3でもOKということにして、5次元の“直方体”を表現されたのだと思います。

 なお、『数学ガール/フェルマーの最終定理』では、「互いに素」であるということはどういうことかを考えるために素数指数表現を取り入れており、「ベクトルで表現したときに直交する」というところに帰着します。亀井先生の約数構造図でも「互いに素」→「直交」は保たれているのでした。
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