TETRA'S MATH

数学と数学教育
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亀井図式を見ながら考えたこと

 5次元の図式をかくためには、素因数を5つもつ自然数を選べばいいので、最小の数は2×3×5×7×11=2310になります。そのほか、2×3×5×7×13=2730でも、2×5×7×11×13=10010でもいいわけですが、とても素敵な数があります(^^)。3×7×11×13×37=111111です。

 というわけで、亀井喜久男さんの『高次元を認識する良い方法としての約数集合構造』では、5次元“直方体”の例として999999の約数構造図が選ばれています。999999は111111の9=3^2(倍)なので、5次元の図でありながら、「3」倍の移動が3回あり、7×11×13×37=37037の4次元約数構造数を4つ重ねた図になっています。1から始まって37037で終わる図、3から始まって111111で終わる図、9から始まって333333で終わる図、27から始まって999999で終わる図が、平行に位置していて、対応する数値どうしが平行な線で結ばれているのです。これがとてもきれい。

 私がいままで考えてきたハッセ図は、集合の包含関係をもとにしていたので、自然数の約数の整除関係に置き換えるとしたら、素因数を1つずつかけあわせてできる自然数が対象になっていました。

 4次元の図であれば2×3×5×7=210→立方体2個分
 5次元の図であれば2×3×5×7×11=2310→立方体4個分
 6次元の図であれば2×3×5×7×11×13=30030→立方体8個分
 (それぞれ一例)

 だから、2^6=64の要素からなる立方体8個分のハッセ図は、私にとってはこれまで6次元の図でした。(4次元のハッセ図のときと同じように考えていいとすれば…の話)



 一方、亀井先生の999999の約数構造図は、素因数が5種なので5次元ではあるけれど、立方体としては8個分で、5次元の“直方体”になっています(言葉だけで説明するとほんとにわかりにくいですね〜ごめんなさい)。上の図で言えば、ピンクと水色の平行線が延長してつながった図になっているわけです。

 何が違うかというと、対応する頂点の結び方が違うわけで、線分の数が違ってきます。かつ、6次元の図だと、5次元の対応する頂点をすべて結ばなくてはいけないので、5次元の図2つを平行にならべることができません。少しずらさないといけない。逆にいうと、5次元の世界であれば、そのうちの1次元を選んで平行移動させていくことで、5次元空間を拡張していくことができます(と、亀井先生の論稿に書いてあるわけではないのですが、私はそう感じました)。

 そして、亀井先生は999999の約数構造図に現れる4次元立方体の並行部分を、リサ・ランドール博士がいうところの「メンブレーン」と関連させて述べていらっしゃいます。ここについてはひとまず保留の私。そしていま、リサ・ランドール博士の『ワープする宇宙』を読み始めたところです(^^)。先は長いぞ〜!
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