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直観主義論理とド・モルガンの法則(1)

 となると気になってくるのは、各種定理です。排中律がいつでも成り立つわけではないことは確認できました。では、ド・モルガンの法則はどうなのか? 直観主義論理では成り立たない定理のところで書いたように、野矢茂樹『論理学』によると、ド・モルガン法則の4つのタイプのうち、直観主義論理で成りたたないのは¬(A∧B)⊃(¬A∨¬B)の1つだけであり、あとの3つは成り立つはずです。

 直観主義論理を表すハッセ図は対称性がくずれてしまったのだから、ド・モルガンの法則の1つが成り立たない(部分がある)のは、ない話じゃないと思えます。実際にさがしてみると、A=10、B=15などで確認できます。

 兇鉢靴隆愀犬蓮∪弔ど分が加わる前の古典論理の世界をたもっているのに、気糧歡蠅垢鉾瑤鵑任靴泙Δ里如△燭箸┐10と15を取り出して考えると、

  [赤] 10∧15=5 → ¬[赤]は¬5=84
  [緑] ¬10∨¬15=21∨14=42
  よって、¬(10∧15)⊃(¬10∨¬15)は成り立たない。
  (84⊃42とならないことについては、
   直観主義論理とド・モルガンの法則(2)
   をごらんください。)



 権帰垢良分は二重否定が成り立たないので、なるほど納得です。

 逆に[緑]を左辺として考えると、

  [緑] 14∨21=42 → ¬[緑]は¬42=5
  [赤] ¬14∧¬21=15∧10=5
  よって、¬(14∨21)⊃(¬14∧¬21)が成り立つ。

 もちろん、たまたま成り立っただけかもしれなくて、全部の数で ¬(A∨B)⊃(¬A∧¬B)が成り立つかどうかは確かめてみないとわからないわけですが。

(つづく)
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