TETRA'S MATH

数学と数学教育
<< 直観主義ってなんだろう? | main | 直観主義論理の公理系 >>

直観主義論理が認めないもの

 これからしばらくは、野矢茂樹の『論理学』を参考文献にします。

 さて、直観主義者が拒否したものは「排中律」だと考えるのが一般的というか、私もぼんやりそう覚えていたし、野矢茂樹『論理学』にもそう書いてあるのですが、いざ直観主義による命題論理の公理系をながめようとすると、「排中律」を拒否したという発想ではなかなか理解が進みません。

 というのも、従来の命題論理において「排中律」は“定理”であり、公理系の規則の中には含まれていないからです。むしろ、直観主義者は「否定除去形の背理法を拒否した」と考えたほうが、話がわかりやすいです。正しい認識であるかどうかはおいといて。

 背理法には、次の2つのタイプがありますが、

  免歡蠧各型の背理法〕
  Aを仮定して矛盾が出る,それゆえ¬A
 
 ◆免歡蟒去型の背理法〕
  ¬Aを仮定して矛盾が出る,それゆえA

 直観主義は,惑Г瓩襪韻譴鼻↓△惑Г瓩覆い箸いΔ海箸蕕靴い里任后

 たとえば、「存在することは構成されること」だとして、「では存在しないことをどう証明すればいいんだ? 存在しないものを構成することはできないぞ・・・」という疑問がわいたとき、直観主義論理は〃燭稜慷法で「構成できないこと」を証明します。「存在すると仮定したら矛盾が出た、よって存在しない」というふうに。だけど、「存在しないと仮定したら矛盾が出た、よって存在する」とは考えないらしいのです。

 構成主義的見方としての直観主義論理を考えると、なんかそれっておかしくない?と言いたくなるときがあるけれど、直観主義論理の公理系をもとに「そういう世界なのだ」と考えれば、それはそれで全然オッケーだという気がしてきます。

(つづく)
論理と数学 | permalink
  

サイト内検索