TETRA’s MATH

TINTにおける射の生まれ方・消え方のルール

 TINT(不定自然変換理論)に興味をもったので、以下の4つの論文・資料を読みながら、理解しようとしている。なお、14の番号はこちらでつけたもの。


1.布山美慕、西郷甲矢人(2019)
 「不定自然変換理論の構築:圏論を用いた動的な比喩理解の記述」

2.池田駿介、高橋達二、布山美慕、西郷甲矢人(2019)
 「不定自然変換理論による比喩理解モデリングの
  計算論的実装へ向けて」

3.池田駿介、高橋達二、布山美慕、西郷甲矢人(2020)
 「不定自然変換理論に基づく比喩理解モデルの計算論的実装」

4.布山美慕、西郷甲矢人(2019)
 「自然変換の構築としての比喩理解」
  ※ 日本認知科学会第36回大会のオーガナイズドセッションの
    スライド資料なのではないかと推測している。



 不定自然変換は、イメージの圏に新しく射が生まれることや、自然変換が探索されるといった動的な過程を記述するためのものなので、「射の生まれ方」についてのルールが必要になる。

 なので、今度はそのルールを見ていく。今回も、論文2を中心に読んでいく。

 まずは潜在圏と顕在圏をおさえておく。すべてのイメージの体系とそれらの想起関係からなるイメージの圏Cを潜在圏と呼び、ここでは各射に想起確率が対応している。そして、ある時点で励起した射すべてを含む圏Cの部分圏Cexcを顕在圏と呼ぶ。

 ルールについては、論文に示してあることをもとに自分で図示して考えていたのだが、その後、資料4を見つけて、おおよそあっていたことがわかった。ただし、basic rule については、「域と余域の対象と同一視できる恒等射が励起している射はμにかかわらず励起する」の意味がひきつづきわからない。また、特別な場合に励起する逆射についてもまだよくわかっていない。

 せっかくなので、自分でも図を描いてみた。ついでに、ルールの名前も日本語で勝手につけた。

 0.(basic rule)    → 基本ルール
 1.(neighboring rule) → 隣接ルール
 2.(fork rule)    → 分岐ルール
 3.(anti-fork rulr)  → 緩和ルール

 ※ μは想起確率



 基本ルールは合成からそうなるし、隣接ルールは新しい射が生じたらその先に進む可能性が出てくるのはなるほどと思うし、分岐ルールも1つものに関係している2つのものの間に関係性が出てくる可能性があるのはしっくりくる。

 緩和ルールについては、最初はちょっと強いルールかなとも思ったけれど、時間をかけて行われるものらしいし、あんまり発展性のなさそうな射の励起を消すというのはそれはそれで納得がいく。

 自分でも何か例を作って考えようとあれこれやってみたのだけれど、たくさん図を描かねばならず、これはやっぱりアニメーションで表現するのがいいんだろうな……というか、アニメーションで見てみたいな、と思った。何しろこれは、時間変化・発展過程を記述するための理論なのだから。

 なお、論文3によると、いよいよ具体的なシミュレーションが始まっているもよう。

 ところで、TINTによる比喩理解は楽しいのだけれど、思い起こせば私は「不定自然変換としての私」に興味をもったのだった。さてこの議論が、どう「私」につながっていくのだろうか。

 TINTそのものやTINTによる比喩理解は、これから計算論として発展していってほしいと願っているけれども、「私」の問題がそのまま計量化できるとは考えにくいので、やはりそれはひとつの「イメージ」としての不定自然変換かな、と自分で感じている。それでまったくかまわないのだけれど、もう少しクリアな、あるいは深いイメージとなるよう、不定自然変換についての理解を深めたいと思うのだった。というか、自分でも考えていきたいと思うのだった。
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不定自然変換理論TINTの自分なりのラフスケッチ

 TINT(不定自然変換理論)に興味をもったので、以下の4つの論文・資料を読みながら、理解しようとしている。なお、14の番号はこちらでつけたもの。

 最初に12を見つけて参考にしていたのだが、その後、34を新たに見つけた。こういう資料が私のような一般人にも簡単に見られるって、やっぱりインターネットってありがたいなぁと感じている。


1.布山美慕、西郷甲矢人(2019)
 「不定自然変換理論の構築:圏論を用いた動的な比喩理解の記述」

2.池田駿介、高橋達二、布山美慕、西郷甲矢人(2019)
 「不定自然変換理論による比喩理解モデリングの
  計算論的実装へ向けて」

3.池田駿介、高橋達二、布山美慕、西郷甲矢人(2020)
 「不定自然変換理論に基づく比喩理解モデルの計算論的実装」

4.布山美慕、西郷甲矢人(2019)
 「自然変換の構築としての比喩理解」
  ※ 日本認知科学会第36回大会のオーガナイズドセッションの
    スライド資料なのではないかと推測している



 ところどころわからないことはあるのだけれど、「こういうことかな?」というラフスケッチは思い描けているので、現段階の理解の記録として書いてみようと思う。今回は、おもに論文2を参考にする。

 最初に、コスライス圏X/Cの定義を、論文とは少しだけ表現を変えてまとめておく。なお、上記資料ではコスライス圏の表示でバックスラッシュを使っているが、ここでは普通のスラッシュ「/」を使うことにする。スライス圏ではC/Xというふうに圏の記号を左に書いたが、コスライス圏ではX/CというようにCのほうを右側に書くことにする(大抵、そうなっているように思う)。

 1.対象は、Xを始域とするすべての射
 2.射は、f:X→aからg:X→bへの
   hf=gを満たすような圏Cの射h
 3.射の合成はCの合成で行う。
 4.恒等射はCの恒等射を引き継く。

 なお、『現代思想2020年7月号 特集=圏論の世界』の田口+西郷論稿では、スライス圏の射を、上記2でいうところのf、g、hの3つ組にあたるものと定義している。それでいえばコスライス圏の射も3つ組で定義したいところだし、実際、3つ組の三角構造についても論文のなかで触れられているのだが、ひとまずここでは射hをfからgへの射ということにしておく。

 また、コスライス圏をちゃんと理解していないので、3、4が「?」ではあるけれど、とりあえず先に進む。

 次に、TINTによる比喩理解のための圏の定義について。

 ・ イメージの圏Cの対象はイメージ、
   Cの射はそれらの間の想起関係とする。
 ・ Aがイメージの圏Cの対象であるとする。
   このときAの「意味」をコスライス圏A/Cで表現する。

 これで準備はできたので、以下、自分で考えたことを書いていく。

※ なお、今回はいつにもまして「自分の理解と表現で」書いています。興味がある方は、直接、上記の論文・資料を読んでください。例も含めて自分で考えています。図もまったく変わっています。

        *     *     *

 論文・資料では「被喩辞」と「喩辞」それぞれのコスライス圏を作るところから始まっているが、私は「喩辞」のみコスライス圏を考えるところから始めた。また、おそらくわかりやすくするためと思われるけれども、コスライス圏を元の圏Cに入れ込んで、もとの対象(イメージ)がはっきりする形でコスライス圏の中身が書かれてあることで、私にとってはコスライス圏の対象が元の圏の対象に見えてかえってわかりにくかったので、まずは以下のように考えることにした。

 イメージの圏Cのなかに、A、B、C、D、Eの5つの対象があり、射は次のようになっているとする。

     


 この圏Cをもとにしてコスライス圏B/Cをつくる。BからDへの射を「BD」とアルファベットを並べて書き、コスライス圏で射が対象になるときには丸で囲む。そうすると、コスライス圏B/Cは次のようになる。

     


 さて、ここで、「AはBのようだ」という比喩が行われたとする。そうすると圏C自体に変化が起こる。これを圏C’とする。

     


 ぽつねんとしていたAにもA→Bという射ができたので、「AB」だけを対象としたコスライス圏A/C’をつくりたくなるけれど、射の合成によりAC、AD、AEもできるので、あえてBを絡ませた状態で書くと、下のようなコスライス圏A/C’ができる。

     


     


 これは、「AはBのようだ」という比喩によって、圏B/C’から圏A/C’への関手が作られたと言える状況かと思う。

  


 以上の理解があっているかどうかはわからないけれど、論文ではこの関手のことを Base of Metaphor Functor(BMF)と呼んでいる。

 考えればあたりまえのことだと思う。だからこそ比喩が可能なわけであり。「AはBのようだ」という比喩は、Bの上にAを重ねるようなものではなかろうか。

 次は自然変換。現段階での理解を書いてみる。

 たとえば、「夏子さんはひまわりのようだ」という比喩がなされたとする。この比喩をした人は、「ひまわり」から想起されるなんらかのイメージ、たとえば「黄色で明るい」とか「大きな花で存在感がある」とか「1本ですくっと立っている」とか、そういったイメージをもとに夏子さんをひまわりにたとえたと思うわけなのだ。

 いま、あえて「人」にあうように言い方を整えたけれども、ひまわりからの想起でいえば、「黄色」「大きな花」「1本立ち」というイメージになる。なので、上記の関手によってうつしただけの場合、「夏子さん→ひまわり→黄色」ということから「夏子さん→黄色」という合成射になってしまう。

 なので、「ひまわり→黄色」から「夏子さん→明るい」にうつせるように新たな関手を考えるというのが、最初にできた関手からの自然変換ということなのかな?というふうにいまは理解している。

 この場合、「夏子さん→明るい」の射が新たに生まれたことになる。あるいは、もともとあったものが探索されたということになる。

 比喩する側からみれば、もともとあったものと考えるのが自然だろう。夏子さんの明るさ(あるいは別のイメージ)からひまわりを想起したことになるだろうから。一方、夏子さんを知らない人からすれば、「夏子さんってひまわりみたいな人よ」と言われたとき、ひまわりのイメージから(たとえば)「夏子さんって明るい人なんだろうな」と逆に思うことになるのだろう。「比喩理解」というのは、どちらかというと後者なのかな、と推測している。
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圏論を用いた動的な比喩理解TINT

 西郷甲矢人さんが布山美慕さんという方といっしょに、圏論を使った比喩理解の研究をされているらしいということについては、なんだかんだでこれまで接触はあった。『圏論の道案内』にもちらっと書いてあるし、あちらこちらの註でも見かけた記憶がある。

 が、「さすがに比喩はないよなー」と思って、のぞこうとしなかった。「意識」はまだギリギリありかもしれないけれど、「比喩」はないよな、と。

 それが一転して読む気になったのは、「不定自然変換」に大変興味を持ったからなのだ。例の事情によりリンクはしないけれど、「不定自然変換」で検索すれば、以下の文献が見つけられると思う。12の番号はこちらでつけたもの。


1.布山美慕、西郷甲矢人(2019)
「不定自然変換理論の構築:圏論を用いた動的な比喩理解の記述」

2.池田駿介、高橋達二、布山美慕、西郷甲矢人(2019)
「不定自然変換理論による比喩理解モデリングの計算論的実装へ向けて」


 このなかにTINTというものが出てくる。theory of indeterminate natural transformation の略称、つまり「不定自然変換理論」なるもの。心の中で、もうティントと呼んでしまっているのだが、そう呼んでいいのかどうかはわからない。

 比喩という言葉から、言語や文学方向の話なのかな?と漠然と思っていたのだけれど、どうやら認知科学方面の話であるらしい。

 1の「1.はじめに」で「潜在意味解析や Word embedding を用いて意味の創出をある種のベクトル演算に近似する方法に比べて」という記述があるのだけれど、そういう方法なんかもあるのだなぁと思ったりした。

 その1では三好達治の詩が取り上げられていたりして、楽しく読んだ(なお、『土』の紹介のところで蟻と蝶が入れ替わってしまっているように思うのだが)。この詩の題名は「土」なんだよなぁとしみじみと思った。

 2ではさらに研究が進んでいることがうかがえる。

 しかし、いずれにせよこれはまだ「入口」なのだと思う。この段階の話であれば、あえて圏論を使う必要は感じられない。むしろ言葉と想像力にまかせたほうが、事態をより深くつかめるように感じた。何かあるとしたらこの先なのだ、きっと。いまはまだ、「提案」なのだ。

 その提案を、少しのぞいてみようと思う。

 まず、イメージの圏Cを用意する。対象はイメージ(言語的なものに限らない)であり、それらの想起関係を射とする。イメージの意味はコスライス圏で表現する。コスライス圏は、固定した対象Aからの射を対象とするものなので、いわばひとつのイメージAから想起されるイメージへの想起関係を集めたものとなり、これをイメージの意味とするのはなるほどと思える。

 ただ、「想起関係」そのものを射とすると、すべての射が同じものと感じられないこともない。あるイメージからあるイメージへの射をひとつにしぼっているのは、いまはとりあえずそうしているわけであり、そういう意味でのひとつではなく、「想起関係」という意味で同じなのではないかということ。なので、「AからBが想起される」という文章そのものを射と考えるとしっくりくるかな、と思った。

(2020年8月6日追記:射についてのこの言い方は何かヘンだな……と自分で感じているのですが、記録としてそのまま残しておきます)

(2020年8月20日追記:それぞれの射には始域と終域がともなうのだから、イメージの射をひとつにしぼるということでOKなのだ、と思うにいたりました)

 そして、比喩について。比喩は「AはBのようだ」という形をしているものだけれど、このたび「喩辞」と「被喩辞」という用語をはじめて知った。たとえに使われたBが 喩辞、たとえられたAが 被喩辞 のことだと私は理解している。これらAとBのイメージの意味の対応づけは、関手で表現される。

 比喩理解の過程は自然変換の探索で表現され、どの動的な過程をモデル化するためにイメージの想起確率が導入されて圏が不定化されることになる。確率の導入はまだ研究段階にあるらしく、計算などについては具体的には触れられていない。

 面白いのは、設定されたルールをもとにして、射が残ったり、消えたりすること。これらは「励起」「緩和」と呼ばれており、4つのルールが設定されている。
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モビリティの圏とコーヒー豆

 ブログの整理がほぼ終わりましたで書いたように、ブログ休止中に、私はプチ「外部リンク恐怖症」になっていた。それがようやくほどけつつあったのだけれど、このたびまた、自分がリンクしたいサイトに「リンクするなら要連絡」という主旨の注意書きを見つけてしまった。嗚呼。

 メール1本、あるいは1.5往復ですむ話なのかもしれないが、その1本、1.5往復が億劫。

 1箇所そういうところがあると別のところも慎重になるし、ここはリンクしてここはしないというバランスのわるさも気になってしまう。

 というわけで、今後、不安なときにはリンクせずに、文献名を参照元として示すだけにとどめていこうと思う。

        *     *     *

 『現代思想2020年7月号 特集=圏論の世界』の郡司論稿にもどると、はっきりいって、よくわからない。何をしようとしているかはわかっても、何をしているかがわからない。

 以前ならばがんばって読みこもうとしていたかもしれないが、今回は「わからなくなったら外に行く」という作戦をとることにした。外に行くための矢印は文末註にもあるし、本文中にもある。

 まずは、郡司論稿の文末注にある土谷尚嗣・西郷甲矢人2019「圏論による意識の理解」をのぞいてみた。実はこの論稿については、すでに存在を知っていた。知っていたけど読もうとしていなかった。『認知科学』第二六巻第四号にあるらしい(私はほかの方法でアクセスできた)。

 最初は、「米田の補題を大きな手がかりとして意識の問題に取り組んでいる論稿なんだな」という印象をもちながら読んだのだが、そのうち、このなかに出てくる「モビリティの圏」なるものが気になってきた。意識の中身が次々と時間を経て変化していく側面を捉えることができるような圏らしい。

 はじめて聞く言葉だったので検索してみたところ、どうやら2018年頃に西郷さんたちによって新しく名づけられたものであるらしいとわかった。新しくといっても概念が新しいのではなく、あまりにも根本的すぎて逆にこれまで名前がつけられていなかったものに仮に名前をつけた、というニュアンスで。

 文末注に示されている文献は、

Saigo, H., Naruse, M., Okamura, K., Hori, H. & Ojima, I. (2019). Analysis of soft robotics based on the concept of category of mobility.

なのだけれど、なんのことやらちんぷんかんぷん。ひとまず読むなら西郷甲矢人2018「自然知能と圏論」がよさそう。検索するとすぐに見つかると思う(成瀬誠さんという方との関わりで見つかるかもしれない)。ここにはモビリティの圏については詳しく書かれていないが、モビリティの圏が面白そうなものであることはわかる。このブログ記事のタイトルの意味もわかると思う。

 とりあえず、「モビリティの圏」というのは、「状態と状態遷移のなす圏」と考えればよさそうだと私は理解した。

 そういう話になると、また『現代思想』圏論特集の郡司論稿を思い出す。郡司さんはオートポイエーシスの話のなかで、「状態と代謝系(状態から状態への変化)を付き合わせ、対比可能とするための道具がいわば圏論である」と書いておられるのだ。

 モビリティの圏も、やはり自然変換なしでは語れないもののよう。
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