TETRA’s MATH

結城浩『数学ガール/ゲーデルの不完全性定理』を物語として読むとき

 あの年の5月。ミルカさんが「僕」にどんな話をしてくれたのかをすっかり忘れていたのです。

 ミルカさんはあのとき《数列クイズに正解なし》という話をしてくれていたのです。そして、「世の中のことって、たいていそうじゃないかな」って語ってくれていたのです。

 きょうというタイミング(クリプキの話が一段落したところ)で『数学ガール/ゲーデルの不完全性定理』の感想をアップしようということだけ決めていた私は、『数学ガール』のオープニングを読みなおしながら、そうか、そういうことだったのか……としみじみ感じています。

 というわけで、きょうは結城浩『数学ガール/ゲーデルの不完全定理』についての感想を書こうと思います。今回も、前回に続いてオンラインレビューに参加させていただいたので、まっさらな読者の感想とは言えませんが、そのこと(レビューしていたときの感想がまざってしまうこと)をあまり気にせず、書いてみようと思います。

 なお、数学的ネタバレは皆無ですが、物語的ネタバレを若干含みます。

     

 『数学ガール/ゲーデルの不完全性定理』は、『数学ガール』『数学ガール/フェルマーの最終定理』に続く“数学ガール”シリーズ3作目です。読み物としてはそれぞれ独立していますが、時間は流れています。
 
 そう。

 私が3作目を読みながらいちばん感じたことは、「時の流れ」でした。

 1作目の中ですでに時は流れているのに、そのことをあまり意識していなかった。入学式から始まるので「まだ始まったばかり」という感覚があったのでしょう。高校1年生の時間がサクっと流れているのにひきかえ、高校2年生のなんという濃密さ。「僕」とミルカさんに、テトラちゃんが加わったことで、時間の密度がぐっと増しているのです(と、描かれています)。しかし日々は確実に過ぎていき、季節はめぐり、登場人物たちの学年が変わる。それとともに登場人物たちは成長していくし、登場人物どうしの関係性も少しずつ変化していきます。「僕」とガールたちの“間柄”に大きな進展はないとしても。

 2作目あたりで気づいてもよさそうなものなのに、あいかわらず時の流れに無頓着だった私。でも、3作目で気づいてしまいました。『数学ガール』は「サザエさん」じゃなかったのだ。

 永遠に小学校5年生のカツオ、永遠に小学校3年生のワカメ。彼らの1年は365日におさまらない。季節はあるけれど1年を超えることのない「とまった時間」の安心感の中で、少しずつ聞かせてもらえる面白おかしく温かいエピソード。

 『数学ガール』にそれを求めてはいけなかったのだ。

 時は確実に流れる。

 あのきらきらしたみずみずしい時間を、永遠の中に閉じ込めることはできない。いや、永遠の中に閉じ込めることはできる。閉じ込めて永遠にすることはできる。物語として、思い出として、過去として。しかし、永遠の中に閉じ込めたままずっと続けることはできない。いずれ必ず終わるときがくる。たとえそれが次の始まりだとしても。いつまでも、ここにはいられないし、ここにはいない。この物語はいつか終わる。別の物語として始まることはあっても、あるいは描かれないことはあっても、終わらないことはない。

 今回は「進路」の話も出てくるので、その切なさもあったと思います。高校生当時の自分と重ね合わせてあれこれ思い出したし、いま現在の自分への問いかけ ―― 私はどこにきているのか? これからどこに行くのか? どこかへ行くのか? 行きたいのか?―― もありました。

 余談ですが、自分の年齢を客観的にながめてびっくりした瞬間と言って思い出すのは、確か大学生くらいの頃、高校球児が自分より年下だということに気づいたときです。テレビで見る「甲子園のおにいさんたち」がいつのまにか年下になっていたなんて。ましてや、自分がサザエさんとおない年になったことに気づいたときのショックといえばそりゃもう。ということさえ今は懐かしい。そして気づけばフネさんの年齢に近づきつつある……

 思えば、『数学ガール』の登場人物の中では、立場的にも年齢的にも「僕」のおかあさんがいちばん近いのだから、リアルタイムで感情移入するのならばおかあさんが対象となってもよさそうなものですが、なんだか遠いのです。フネさんくらい遠い。お茶目で可愛らしくてタフ。おかあさんの時間だって流れているだろうに、定点観測をしてもらえそうな安心感がある。本来は私も「私はどこに行くんだろう?」って悩んでいる場合じゃなく(いや「僕」のおかあさんだって日常いろいろなことで悩んでいることでしょうが)、未来に向かって立ちすくむ若者に、軽やかに発想の転換を促す位置どころにいるのかもしれません。でも、病気の娘を抱えて夜中に病院に駆け込むような経験を何度かしても、なかなか「大丈夫!」とポンと背中をたたく域にいけないのでした。まだまだだれかに「大丈夫!」とポンと背中をたたいてほしい心持ち。娘が高校生になるまでには、もう少し貫禄がついているだろうか?

 いつのまにか過ぎていく時の流れを、1つの物語として、あるいは過去の一場面として思い描く、たったいまの自分も時の流れの中にいる。ということを考えるときでさえ、けして時の流れからは開放されない。どんな思考も思索も回想も時間で成り立っている。閃光のような一瞬も、滞る時間の澱も、繰り返しのリズムの中から立ちのぼり、やがては回収されていく。ということを、時の流れの中でふりかえる。そして前を向く。繰り返しのリズムの中から何が立ちのぼってくるのかわからない。次に何が起こるかわからない。時間の可能性は、つねに開かれている。

 そして、予想外のことが、まるで必然であるかのようにつながる瞬間があり、そのときどきの自分の心の声に耳をすませているだけなのに、己の意思とは別のものにいざなわれていく感覚を味わうことがあります。たぶんそれが、時を越えた<私>なのだと思います。

 3作目まで読んだあとに、『数学ガール』(1作目)のプロローグを読むと、はじめて読んだときにはなかった重み、せまってくるものを感じます。『数学ガール』が回想の語り口で始まることを知っていたはずなのに、あの時の中に私もリアルタイムで入り込んでいたのです。

 実際、2作目のときまでは映画を見るように本を読んでいたのに対し、3作目のときには、あの場所や、その場所に、私もいっしょに行っていました。

 「僕」の卒業まであと1年。

 きっと、あと2作分は一緒に数学できるだろう、あのきらきらした時間の中に、また、まだ、私もいけるだろう。そんな勝手な(あくまでも勝手な)期待を胸に、3作目を閉じました。

 何よりも自分のものにしたいのは、生きる私の時間です。
 

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色分けで感じる排他的論理和

 結城浩さんが“はてな日記”においてランチのご注文のお品は奇数個ですねというエントリを書いておられます。わぉ! このブログの「ランチには、コーヒーか紅茶かオレンジジュースがつきます」に反応&リンクしていただいてありがとうございますっ!

 真理値表を書くという発想はまったく思い浮かびませんでした。(野矢茂樹『論理学』では排反的選言に▽の記号をあてて新しく真理関数を定義しているという話を書いているにも関わらず・・・

 排他的論理和の結合律を考えるにあたり、次のように段階的なベン図をかいたのですが、xとyの輪にzの輪を重ねると色が反転する感覚が面白いなぁとは思っていたのでした。

  

 これはつまり、TとTならF、1と1なら0ということであり、排反的選言の特徴(両立的選言と違うところ)なのですよね。

 せっかくなので、4つの集合についてもベン図で考えてみようと思いたち、対称な図になるのかしらん?という軽い気持ちで花のような図をかいたのですが、なんかヘン。3つの輪が重なったときにできたすべての領域を横切らなくちゃいけない(2つに分けなくちゃいけない)んだけど、そうするとなんだかぐにょ〜んとした図になってしまわないかい?

 これはきっとだれかがすでに描いていてくれているに違いないと思って検索してみたら、果たして描いてくださっていました。↓(リンク切れにつき削除しました)
 
 なるほど、なるほど。最後の長方形を分割していく図がわかりやすそうです。そういえば山下正男『論理学史』にも4分割の図が載っていましたっけ。この図を使って集合が4つ、5つ、6つになったときの排他的論理和の結果はどうなっていくのか色分けしてみました。(あってるかしらん?)

  

 ちなみに赤枠は“すべてのドリンクを頼む場合”に対応する領域です。ドリンクの種類が偶数なら色ナシ、奇数なら色アリなんだな。

 ついでに、3つの集合の場合についてT、Fの文字も入れてみました。

  

 Tが偶数個なら色ナシ、奇数個なら色アリなんだなぁ。


〔追記1〕

 集合が5つ、6つになった場合のe、fの線を領域の途中で折り曲げましたが、線に青や黄色の色もつけていることだし、辺にそって描いても大丈夫だということに気づきました。そのほうがすっきりとした市松模様になってきれいですね!(前の図は前の図で、反転する様子がわかって味わい深いけど)

  


〔追記2〕

 色分けで感じる排他的論理和で使った長方形を分割していくような図式化は、『不思議の国のアリス』を書いたルイス・キャロル(C.L.ドジスン)の考案なのだそうです(『記号論理学』1896年)。ということが山下正男『論理学史』p.54に書いてあるのによみ飛ばしていました!

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ブール束とブール環の関係

 ブール環が本当に「単位的可換環」なのかどうかを確かめ中です。

(+)についての結合律
 あっているかどうかはわからないけれど、前回の確かめでとりあえずよしとすることにしました。

(+)についての単位元(零元)…x(+)O=xより、O

(+)についての逆元…x(+)x=Oより、x

(+)についての交換律…大丈夫だろう、うん。

 乗法・についてはいじっていないのだから、結合律、単位元、交換律ともに大丈夫そうです。・の(+)に関する分配律も確認しました。ちなみに、(+)の・に関する分配律は成り立たないのかしらん?と思い、式変形とベン図で確かめてみましたが、なるほど成り立たないようでした。

 これでみんなOKかな。

 となると、代数系(B;+,・)と代数系(B;(+),・)では何がちがってくるのだろう…?

 x+(何か)=O にはなれないので、前者は加法についての逆元が存在しません。そのかわりといってはなんですが、x+x=x となり、加法についてもベキ等律が成り立ちます。さらに、+の・に関する分配律も成り立ちます。となると、つくづく「束」というのは、+と・を入れ替えても成り立つ「双対原理」が特徴的なのだなぁと思うことでありました。

 ブール束は分配束なので、分配律が成り立ちます。また、ブール環では乗法の冪等律は成り立ちます。ということは、「環と束」よりも、「ブール環とブール束」は、共通部分が大きくて、ほとんど同じということなのでしょうか?

 ちなみに、『情報の論理数学入門』では、ブール代数=ブール束という書き方はしてありますが、ブール代数=ブール環とは書いてありません。ただ、ブール環をつくるときに新しい加法的演算(+)をブール代数の+、・、 ̄で定義しているので、そうなるとブール環はブール代数のなかに入っているのかな?という気もします。「環」「束」「ブール代数」「ブール束」「ブール環」の包含関係を表すベン図をだれかにかいてほしい気分。

(つづく)

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「ランチには、コーヒーか紅茶かオレンジジュースがつきます」

 ブール環が本当に環になるかどうかを確かめるべく、まずは排他的論理和(+)(←丸付プラス)の結合律を考えました。ちなみにテキストでは「容易に確かめられる」と書いてあるだけなのです。交換律はともかく、結合律はなんか不安だし。

 (+)についての結合律が成り立つということは、

     

が成り立つということだから、左右をそれぞれ変形して同じ形にすればいいと考えました。なので、(+)のおおもとの定義x(+)y=( ̄x・y)+(x・ ̄y)にもどって、ド・モルガンの法則を駆使しつつ次のように式変形してみたのです。(なお、式変形が正しいかどうかはまったく自信がないので、信用しないでください〜)



 途中の分配律が若干不安ですが、とりあえず上記のようになり、x・y・zが出てきてしまいます。なぜ「しまいます」と思ったかというと、x(+)y(+)zは、xかyかzのどれかひとつ---「ランチには、コーヒーか紅茶かオレンジジュースのどれか1つがつきます」---というイメージをもっていたので、上図左下のようなベン図かかけると思っていたのです。x・y・zが消えてくれないかなぁと思いつつ、とりあえず右辺も変形してみたら、同じになりました。…あれ? x・y・zがあっていいのかな?

 段階的に考えてみると、x(+)y であるか、zであるかのどちらか一方なのだから……

     

 おお。まんなかのx∩y∩zも入るのですか? となると、排反的選言の「または」を採用している喫茶店でランチのドリンクが3種類になれば、すべてのドリンクを頼むという選択肢も出てくるのだろうか…!?

色分けで感じる排他的論理和

(つづく)
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「ブール環」ってなんだろう?

 「環」とは何であったか、ソラで言えるだろうか?と試してみましたが、案の定言えやしないし。唯一ぼんやり思い浮かぶのは、「乗法の逆元がないんだったかな?」ということです。それが思い浮かぶのは、結城浩『数学ガール/フェルマーの最終定理』のおかげです。ちなみに『数学ガール/フェルマーの最終定理』は真夏に出版されましたが、個人的には今の時期に読み始めて12月中旬くらいに読み終わるのが、肌感覚としてはとてもよいのではないかと思われます。

 というわけで、まずはアーベル群の復習をば。

(1つの演算に対して、演算について閉じているうえで)


 そして、環およびブール環です。


           ※分配律の右辺の( )が抜けてました。


 じゃあ、ほんとうに環になるのかどうか確かめようと思い、排他的論理和(+)についての結合律を考えていたら……

(つづく)

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「ランチには、コーヒーまたは紅茶がつきます」

 「AまたはB」を「A∨B」や「A∪B」で考えると、Aのみ成立、Bのみ成立、AとBの両方が成立のすべての場合がOKですが、そうでない“または”もあります。

 たとえば喫茶店で「ランチには、コーヒーまたは紅茶がつきます」と言われ、コーヒーと紅茶のどちらか一方しかつけてもらえないのならば、この場合の“または”は「どちらか一方のみ」の意味になります。

 このような“または”を「排反的選言(排他的選言)」というそうです。なお、ランチのコーヒー紅茶の話は野矢茂樹『論理学』に書いてあって、登場人物の一人である道元が「非論理的な喫茶店だな.」と言っていて可笑しいのですが、この本の中では排反的選言に▽の記号が当てられ、公認されている記号ではないと断った上で、あらたな真理関数が定義されています。

 さて、ブールは、「そして(かつ)」に×、「あるいは(または)」に+の演算をあてて論理の計算を行いましたが、“または”としてこの「排反的選言」を選んだそうなのです。

 だから、1+A は「1∪A」から「1∩A」をのぞいた部分となり、1−A と同じになります(ベン図でいえば四角の中のAの円の外側の領域)。さらに、1+A=1−A から A+A=0 が導けますが、「A∪A」から「A∩A」をのぞくと0なので、辻褄があいます。ということは、ブールが発見していた「指数律」は「・」に対する「ベキ等律」(x・x=x)だけであり、「+」に対しては成り立っていなかったんだな・・・。

 という話を知ったのちに『情報の論理数学入門』を読むと、理解するのが億劫だった「ブール環」に、がぜん興味がわいてきます。テキストでは、次のようにしてブール環の話が始まるのですが((+)は丸付きプラス↓)

 これまでみてきたように、ブール代数は通常の体における代数とはかなり異なった体系であるが、いろいろな点で似ているところもある.実際,ブール代数(B;+,・)において、次のような加法的な演算(+)を定義すると
        def
    x(+)y=( ̄x・y)+(x・ ̄y)  (x,y∈B

代数系(B;(+),・)は単位的可換環となる.
そんなことしたらダメだとはもちろん言わないけれど、「なんでわざわざここで新しい演算を定義して環をつくる必要があるのだろう? いま束を感じ取ろうとしているんだからしばらく環を出さないで欲しい〜」という妙な抵抗感があった私にとって、おおもとのブールの加法が排反的選言であったというエピソードは、ブール環を理解してみたいという気持ちを呼び起こすきっかけになりました。

(つづく)
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論理学の歴史におけるブールの位置どころ

 去年の春から夏にかけて論理学に興味をもち、野矢茂樹『論理学』を途中まで読みつつ、気になった言葉であれこれ検索をかけていました。
 
 その作業をしばらく続けてふとわいた素朴な疑問は、「どうして野矢茂樹『論理学』には“ブール”という言葉(人名)が一度も出てこないのだろう?」ということでした(なお、付論として論理回路の話は出てきます)。なぜかというと、検索中に「ブールの論理代数は命題論理学の原型」という記述を見かけたからです。それならば一言ぐらい出てきてもよさそうなのに・・・。ブールの名前を持ち出すと話が大変になるからなのか、野矢茂樹が『論理学』で語りたいことはブールとあまり関係がないからなのか、あるいは「どうしてブールが出てこないのだろうか?」という疑問の持ち方自体ズレたものなのだろうか。

 そんなこんなで、野矢茂樹『論理学』の前半部分を読み終えるころに別の本が読みたくなって、次の2冊を購入しました。

 1冊は、『情報の論理数学入門』(小倉久和・高濱徹行共著)というテキストです。「ブール代数から述語論理まで」という副題にひかれました。でも、肝心のブール代数がどうもよくわからない。

 もう1冊は、『論理学史』(山下正男著)という本です。論理学の歴史をもっと知りたいと思って買ったのですが、私にとってはやはり読みにくく、結局そのまま本棚にしまいこんでいました。

 あれからさくっと1年あまりが経過し、論理学関係の本からはすっかり遠ざかっていたのですが、最近いくつかの動機が重なって、再び上記2冊の本を手にしています。久しぶりにめくってみたら、なんだか以前よりも面白いのです。特に『論理学史』の前半はブールもたくさん出てくるし、図を使って論理学の歴史をたどっていて、楽しいです。と同時に、あと何冊かは本を読まないと痒いところに手が届かないだろうなぁ〜という感触も得ました。しばらくの間、上記2冊をゆっくり読んでみたいと思います。

(つづく)
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やられた

もっと気の利いた一文を書いておけばよかったな(^^;。

まさかこの一文を引用なさるとは!>結城さん
『数学ガール言及リンク集(48)』

 本の内容にまったく触れていない感想(?)にも関わらずリンクしていただいてありがとうございます〜〜 道理で訪問者が多いわけだ。
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『数学ガール』言及リンク集のこと

 結城浩さんって、ほんとにマメな方だなぁと思います。

 たとえば『数学ガール』言及リンク集。著者本人がこまめに見つけてリンクしてくださっているので、読者のひとりである私もこのサイトから感想が読めて楽しいのです。すごい数なので全部は読んでいないのですが、気が向いたときに気が向いたものを開いて読んでいます。

 そう、『数学ガール』が面白いなぁと思うのは、感想も面白いところ。いろいろな感想があるのですが、どれもとても的確だと思う。的確だとも思うし、「なるほど、そうきたか〜!」「それは気がつかなかった、確かにそうだ」と思うこともあります。そして、読んでいて不快になる感想というのがほとんどない。もちろん、絶賛する内容ばかりではなくて中には「自分は受け付けない」という感想も含まれているのですが、その感覚さえ共感できる書き方がしてあるのです。

 あとは、どの一文を結城さんがチョイスしてリンクの看板にするのか、そのあたりも楽しいです。たとえばコマネタ帳さんの場合。コンパクトでわりと正統派の(?)紹介内容だと思うのですが、引用された一文は「なお、ユーリちゃんは俺の娘ですから」でした。それに対して「そこ引用ですかw。」と管理人さん。(^^) なお、これは結城浩さんの日記での引用の一文で、言及集では「フェルマーの最終定理へ「猫まっしぐら」な一冊になっています。 」という一文が選ばれています。

 ちなみに TETRA'S MATH はリンク集(32)でリンクしていただいています。選ばれた一文は「今度は数式としっかり向き合って、数学を楽しみたいと思います」でした。自分ならどこを選ぶだろう?と読みなおしてみたけれど、確かにここくらいしかないなぁ。もっと気の利いた一文を書いておけばよかったな(^^;。

追記>やられた
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結城浩『数学ガール/フェルマーの最終定理』

 結城浩『数学ガール/フェルマーの最終定理』を読みました。より正確に言うと、「実際に出版された『数学ガール/フェルマーの最終定理』をひととおり読みました」となります。

 実は、この本に関してはレビューアをさせていただいたので、出版前に原稿(の原形)を読んでいました。当初の予定ではレビューアをしていたことは伏せておいて、いつものように普通に感想を書く予定だったのですが、それはできないと読んでみて感じました。なお、書籍執筆のためのレビューというものがどういうものかについては、結城浩さんのサイトの「書籍執筆とオンラインレビュー」に書かれてあります(古いバージョンだそうです)。

 感想はいろいろあるのですが、もう少し時間がたってから書きたい気持ちです。いまはとにかく読んでみてください、と言うのが精一杯。

 Amazonでのレビューにもありますが、結城浩さんの文章には品があります。それがとにかく気持ちいい。でも、品があることはレビューをする前から知っていたのです。最近感じるのは、「思い入れ」の強さ。結城さんの場合は「想い」のほうが似合うかな。自分の著書に対する「想い」、数学を学ぶ面白さに対する「想い」、読者に対する「想い」。品のある人が想いを形にしたときの静かな迫力に圧倒されているこの夏です。

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