TETRA'S MATH

数学と数学教育

ドゥルーズ『差異と反復』第四章から、「<差異的=微分的>と<問題的>」を読む。

 久しぶりに、ジル・ドゥルーズ『差異と反復』(下)[河出文庫](財津理訳)を開いてみます。きょう読むのは第四章の8番目の項目、「<差異的=微分的>と<問題的>」の部分。少し前にちらっとのぞたときと同じセクション、つまり「部分分解式の滝」が出てくるところです。

 なお、《理念》には「イデア」のルビがふられていますが、このエントリでは省略します。ちなみに《  》でくくられているのは原書で大文字になっているところで、〔  〕でくくられているのは訳者が補った言葉、< >でくくられているのは、文意をとりやすくするために訳者が用いた記号とのこと。

 さて、この一節では、数学者としてアーベルとガロアが登場します。最初の数行はいまは脇においといて、アーベルが出てくるところから読んでいくと、アーベルは次のような循環をまっさきに打ち砕いて<解−問題>の関係における根本的な逆転(“コペルニクス的転回”よりもはるかに重要な転回)をなした人としてその名が出されます。
ひとつの問題は、その問題が「真」であるかぎりにおいて解決可能であるのだが、しかしわたしたちはつねに、ひとつの問題が真であるということを、その問題が解決可能であるということの方から定義しようとする
(p.40)

 ドゥルーズはこのような循環を、「わたしたちは、解決可能性という外的な指標を、問題(《理念》)の内的な特徴〔真理性〕に基づかせるかわりに、その内的な特徴を、そのたんなる外的な指標〔解決可能性〕に依存させるということだ」と説明しています。

 それをどうアーベルが打ち砕いたかというと、解決可能性は問題の形式から生じねばならぬとする方法、つまり、ひとつの方程式が一般に解かれうるのかどうかを、行き当たりばったりに探求するというのではなく、「与件が解の芽を含む」ように解決可能性のもろもろの場を漸進的に種別化してゆくような<問題の諸条件>を規定していく、そういう方法ということのようです。

 結城浩『数学ガール/ガロア理論』にも、ちょっとだけアーベル(とルフィー二)が出てきます。ルフィー二とアーベルは、5次以上の方程式はいつでも解けるとは限らないこと(5次方程式には解の公式が存在しないこと)を証明したわけですが(ウィキペディア:アーベル-ルフィ二の定理)、ガロアは、5次方程式がどんなときに解け、どんなときに解けないか、もっといえば、n次方程式が代数的に解けることの必要十分条件を示したのでした。

 ドゥルーズいわく、アーベルはそのようにして、新『純粋理性批判』を創始し、こうしてまさしくカントの外在主義を超克したと、ひとは言うことができたのである、と。

 この1文について考えるのは大仕事なので、ひとまず付箋を立てて先に進みますれば、次にガロアの名が出てきます。アーベルに関するそのような評価は、ガロアの業績に対しても当てはまることが確認される、というふうに。このあとの部分は、少し前に第四章をのぞいたときに引用したので、省略してさらにその先に進みます。前回の「即して見いだされるのである」の直後に、
(方程式が代数的につまり根号によって解かれうるのは、部分分解式が二項方程式であり、群の指数が素数である場合にかぎられる)
という説明があり、ここの部分に関して、かなり行数を割いた訳注がついています。参照文献として上げられているのは矢ヶ部巌『ガロアの理論』(現代数学社)です。

 そうして、以前メモした次の部分に続くのです。
こうして、問題の理論はすっかり変貌し、最終的に根拠づけられるのであるが、それというのも、わたしたちはもはや、先生と生徒の古典的な状況のなかにはいないからである-----すなわち、生徒が問題を理解し問題についていけるのは、先生が問題の解を知っていて、それに応じて必要な補助を与える場合にかぎられるといった状況のなかにはいないからである。というのも、ジョルジュ・ヴェリーストが指摘しているように、方程式の群は、ある意味で、わたしたちが根について知っていることを特徴づけているのではなく、かえって、わたしたちが根について知らないことの客観性を特徴づけているからである。
(p.41〜42)

 ここには原註がついていて、<問題-解>についてはこの著作を、アーベルとガロアについてはジュール・ヴィユマンのこの著作を参照という補足があるので、このあたりの議論はドゥルーズに始まったことではないのでしょう。

 さらにドゥルーズは、そうした<非-知>は、反対に、もはや否定的なものでも欠陥でもなく、それはひとつのものさし、すなわち対象における基本的な次元が対応しているひとつの学ぶことなのであるとして、新メノンという語を出してきます。

 そしてラスト。(ルビ省略、下線部は傍点付き)
ガロアの「漸進的判定可能性」は、相互規定のプロセスと十分な規定作用のプロセス(根のもろもろの対と、ひとつの対における諸根の区別)を、同じひとつの連続的運動のなかでまとめあげている。その漸進的判定可能性は、充足理由の全体的な形態を構成し、そこに時間を導入するのである。アーベルとガロアによってはじめて、問題の理論は、数学において、本来的な意味で弁証法的なおのれの諸要請のすべてを満たすことができ、おのれに悪影響を及ぼしていた循環を打ち砕くことができるのである。
(p.42)
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