TETRA'S MATH

数学と数学教育

解析学の言葉と、解析学蔑視の傾向

 少し脇道にそれます。

 辻下徹さんは「数学的」ということに関して、「少数の言葉を専門用語として選び出してていねいに扱う」ということを示されました()が、それに対して山口昌哉先生があとがきでコメントを書いておられます。「解析出身の数学者として、日頃考えていることを少し付言したい」というふうに。

 辻下さんの意見に異論があるわけではなく、「ていねいに」の内容を問題にされています。山口昌哉先生は、恩師である岡村博氏の『微分方程式序説』を読みながら、ハタと気がついたことがあるそうなのです。代数と解析の違いについて。
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「数学的」という言葉の規範性と不定性

 辻下徹「生命と複雑系」に出てくるクリプキのプラス・クワスの懐疑論を読んでいます。

 さて、68+57=5 と計算する人がいて、その計算の意味は納得できるものだとしても、「ぶっちゃけ、フツーそうは計算しないでしょ?」と言いたくなるというもの。プラスの意味が確定しなくても、私たちはフツーにプラスの計算をしているし、実生活で困ることはありません。

 しかし、上記の懐疑論者のような計算方法が出てくる可能性が払拭できないのも確かです。そして、そのつどプラスが不定性を残していたことが判明することになります。

 これはプラスだけではなく言語一般の様相でもある、と話は続いていきます。それぞれの言葉はある状況で明確に決まったふうに使えるのが理想であると普通は考えるけれども、プラス・クワスの議論からわかるように、言葉の確定した「意味」はありえない。つまり、言語は局所性と規範性をもっている。
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辻下徹「生命と複雑系」に出てくるクリプキの懐疑論・2

 さて、懐疑論者のクワスの発案は、どうにも気持ちがわるいものです。なぜ気持ちがわるいのかを考えてみます。

 懐疑論者がクワスを持ち出す以前には、自分のプラスの計算は正当としか思えませんでした。このプラスの計算だけでなくあらゆる2数のプラスの計算には「正しい答え」があり、自分はそれを計算できると考えていました。これはプラスの実在論と言えます。

 そして、クワスを出されたときに、確かにそういう計算でも文句は言えないけれど、そんなクワスは不自然で、そういう計算ではないことは暗黙の了解・常識だと言いたくなるわけです。つまり、暗黙の了解・常識といった概念が実在論を守る働きをしているということになります。

 とはいえ、数学の議論の中ではプラスの意味は確定しているように思える、それはなぜなのか。
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辻下徹「生命と複雑系」に出てくるクリプキの懐疑論・1

 クリプキのプラス・クワスの懐疑論とは、次のようなものです。

 68+57 に対して、私が「125」と答えると、ある懐疑論者が来て、なぜ「5」ではなく「125」なのか、と問いました。その人は、x,yのいずれもが57より小さければ x(+)y=x+y そうでないときは x(+)y=5 となる演算クワス(+)をいままでプラスといながらやっていたらしいのです。これに対して私は反論できません。

 つまり、68+57 のような問題に対し、ある特定の答えを出すとき、私は、その答えを正当化することはできない、という話です。なお、本文中でクワスは丸付プラスで表記されています。

 初めからプラスの明確なアルゴリズムを周到に注意深く指定しておけば、「68+57=125」を正当化できそうなものです。しかし、どんなに周到に準備しても正当化できないというのがプラス・クワスの議論の骨子らしいのです。今度はアルゴリズムの適用というところで、懐疑論者は意地悪を言うことができるとして、次のような例が出されています。
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辻下徹「生命と複雑系」---形式世界とその外・2

 「生命を見る」には形式世界の外に出なければなりませんが、形式世界は世界そのものと見える場合もあるので、そこから知的考察だけで出るのは簡単なことではありません。

 しかし、道がないわけではない。として、ラッセルのパラドクスとゲーデルの不完全性定理が出されています。「積極的内容には乏しいが、論理的な議論を通して納得できるものとしては」というコメント付きで。
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辻下徹「生命と複雑系」---形式世界とその外・1

 『複雑系の科学と現代思想−数学』(高橋陽一郎・辻下徹・山口昌哉著/青土社/1998)所収、辻下徹「生命と複雑系」から、[3 形式世界とその外]を読んでいきます。

 ここは郡司ぺギオ-幸夫の生命論を紹介する「第局堯\弧拭廚瞭各部分になっています。生命の持つ「予想外」という様相に形式世界という概念を使ってアプローチしていくということで、「予想外」が生命の不可欠な様相であるという立場をとった議論になっています。

 ちなみに、『複雑系の科学と現代思想−数学』では本文の下にけっこうなスペースをさいて、本文中に出てくる言葉の補足説明が書かれてあるのですが、「予想外」についての補足説明で、郡司ぺギオ-幸夫さんの次の一文が書いてあり、面白かったです。
生命とは時間の別称である。
 「予想外」はこの文に一つの明確な輪郭を与える、と辻下徹さんは書いておられます。
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辻下徹「生命と複雑系」の組み立て

 『複雑系の科学と現代思想−数学』(高橋陽一郎・辻下徹・山口昌哉著/青土社/1998)の中から、辻下徹「生命と複雑系」をみていきたいと思います。

 辻下徹「生命と複雑系」は、次のような構成になっています。

第吃堯(雑系
  1 「複雑系とは/複雑系私的序説」
    1−1  間近い複雑系科学の誕生
    1−2  意味世界の多重秩序
    1−3  多重記述系を要する複雑系
    1−4  人間の一記述系としての脳
    1−5  複雑系認識の「適切さ」
    1−6  自然言語
    1−7  複雑系科学における数学の使命

  2 自己創出系としての複雑系記述
    2−1  複雑系記述の基底概念
    2−2  相互作用(プロセス)論の基本的様相
    2−3  相互作用に基づく複雑系論:自己創出系の吟味
    2−4  相互作用のきっかけ
    2−5  統一体
    2−6  演繹的有向ハイパーグラフ

第局堯\弧
  3 形式世界とその外
    3−1  形式世界とは
    3−2  形式世界の外への契機
    3−3  複雑系研究と生命理解
  4 内部観測:形式世界の外に立つ観測
    4−1  「内部観測」とは
    4−2  内部観測としての研究
    4−3  複雑と錯綜
    4−4  いまある創発性
    4−5  形式世界の利用:隠喩から契機へ
    4−6  郡司の数理モデルの要点
    4−7  チュー空間による内部観測の描写
    4−8  結び

 クリプキのプラス・クワスは、「3−2 形式世界の外への契機」で出てきます。
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