TETRA'S MATH

数学と数学教育

ピックさんの問題意識はなんだったのだろう?

 というわけで、ピックの定理と森原の定理をみてきました。ちゃんとした証明はしていませんが、雰囲気はつかめたし、面白かったです。

 それにしてもピックさんは、何をきっかけにしてこの定理を発見したんでしょうね。何を思って、何を目的にして、この定理にたどりついたのだろうか… 一応検索をしてみましたが、年代や大まかな境遇、エピソードはいくつか見つけられたものの、ピックの定理が誕生する経緯についてはわかりませんでした。

 もし面積を求めることそのものが目的ならば、ピックの定理より森原の定理のほうが便利です。なんといっても、穴があいた図形に適応できるというのは大きい。

 しかし、ピックの定理に「オイラーの標数」が関わっているのであれば、ピックの定理には、格子点を使って面積を求めるという以上の意味があるような気がしてきます。ピックさんがそこまで意識していたどうかはわからないけれど。(ちなみに、ピックの定理の発見は1899年とのこと)

 この定理によって、格子多角形は内部の点と辺上の点が同じであれば面積が等しくなるのだから、形そのものの制約が少ないという印象につながって面白いのですが、

     

穴があいたとたんに(そのままでは)成り立たなくなるというのも面白いのです。

 今回あれこれ検索するなかで、やっぱりふるさとサイトのIkuro's Home Pageにたどりつきました。ピックの公式の拡張(その2)に「面積(体積)を求めるのにトポロジーの定理が必要とされるというのは奇妙なことと感じられる」とあるように、面積を求める定理と位相の考え方がつながっているというのは意外な感じがします。

 そういえば、オイラー標数というのは位相不変量とよばれるものらしいのですが、ここでいう不変“量”と面積としての“量”は、同じ量という名前がついていても性質が異なると思うのです。それよりもなによりも、オイラー標“数”と言いながら不変“量”ってどうよ?と一応は突っ込んでおく。

 点の数という分離量をもとにして、面積という連続量が求められることの不思議。

 しかし、格子点に頂点があるという条件により、「連続量」の性質からかなりはなれてしまうので、面積といえども「正方形のいくつ分(1/2を含む)」という“ほぼ分離量”ということになるのかもしれません。しかし、格子点の幅をどんどん小さくしていったら…?(なんだか、ピックの定理が遠山啓好みだった?わけがわかるような気がしてきました。)

 逆にいえば、点というものが大きさをもっていて、同じ割合で(内部は内部なりに、境界は境界なりに)膨張したと考えると、その点の並びが所有する面積が、いわゆる図形の面積となる…と捉えると面白いです。高橋誠『和算で数に強くなる!』のp68の図は、それを感じさせるものだったんだなぁ。2km×2km=4km^2 の土地に 1km^2 ごとにマクドナルドがあると言われたとき、1km×1km の土地の真ん中にお店がひとつある様子が思い浮かびますが、その1店が1km^2分のテリトリーをもっていると考えると、森原の定理の「面積点」っぽくなります。では、4kmの長さに1kmごとにマクドナルドがあるとすると、さてどう考える?というのが植木算の話です。なるほどねぇ!

 乗りかかった船なので(!?)、3次元についてもいけるところまでいってみようと思ったのですが、大変そうだという予感。なので、今回のピックの定理のお勉強はここまでということで。
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ピックの定理から、森原の定理へ

 ピックの定理の「−1」について考えたあとは、いよいよ「森原の定理」です。

   文英堂点を数えて面積を求める(森原則男)

 森原則男さんは、平面上の点で面積への貢献度ということを考えると、格子点よりも各升目の正方形の中心の点に注目したほうがよいと考えて、まず、この点を「面積点」と名づけられました。ピックの定理(長方形・2)で示したこの方式ですね。(^^)↓

     

 そして、この面積点をもとにすると、(内部の面積点)+(辺上の面積点)/2 で全体の面積が求まってしまうのです(森原の定理)。しかも、穴があいた図形でも!

 上記のような長方形や、その組み合わせでできる斜めの線がない図形では、「内部の面積点」の数がそのまま全体の図形の面積になるのでわかりやすいです。

 直角三角形の場合は、「辺上の面積点」がある場合とない場合があり、「辺上の面積点」がない場合は、同じ直角三角形を点対称の位置においてできる長方形を考えることにより、その長方形の面積にあたる「内部の面積点」の数が2分割されるので、やはり「内部の面積点」の数がそのまま直角三角形の面積になります。

     

 「辺上の面積点」がある場合も同じように長方形を考えると、対角線上にない「内部の面積点」の数は2分割され、「辺上の面積点」(下図の赤点)については、面積1の正方形の半分だけ面積を所有していることになります。したがって、(内部の面積点)+(辺上の面積点)/2 という式が成り立つというわけだな。なにしろこの図形の頂点はもとの格子点上にあるので、ここに面積点がからむことはありません。なんて便利なんだ!

   

 森原則男さんは、ピックの定理を知るきっかけになった“数学の広場8”「数楽サロン」(ホルプ出版 遠山啓)の中のいろいろな図形について、ピックの定理と森原の定理の両方を使ってそれぞれの面積を求めておられます。

 では、穴があいた図形で本当に森原の定理が成り立つのだろうか? ということを、下の図形を使って考えてみます。

     

 「内部の面積点」が9個、「辺上の面積点」が8個だから、9+8/2=13

     

 「内部の面積点」については、たとえもとの図形の辺で面積が分断されても、辺の中点を中心とする点対称な図形で過不足が調整されます。また、「辺上の面積点」については、どこも面積1の正方形の面積を2等分するように辺が走っているわけだから、1/2×「辺上の面積点」となることもうなづけます。

 なるほどね〜!

(つづく)
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ピックの定理の「−1」の図形的意味を考える

 そんなこんなで、穴があいた図形についてのピックの定理を(も)考察してあるページをさがしていたら、次の文章にたどりつきました。

   文英堂点を数えて面積を求める(森原則男)

 わぉ。

 森原則男さんは、ピックの定理が、辺上の格子点として「直線上の点も頂点も同一に扱っていること」に疑問をもったそうです。
 (゚-゚)(。_。)ウンウン

図形の面積に関わる格子点の役割を考えるとき、内点と頂点を除いた辺上の格子点(辺上点)、そして頂点(頂点)の面積への貢献度は明らかに異なります。
 (゚-゚)(。_。)ウンウン

また、ピックの定理は公式の中に−1があります。これは何でしょう。この−1が頂点の面積への貢献度のまちまちさを修正しているのでしょうか。そのこともどう考えたらいいのでしょう。
 (゚-゚)(。_。)(゚-゚)(。_。)ウンウンウン

 そういえば、ピックの定理(直角三角形)で次のように過不足を移動してみたとき、辺上の点のまわりにできる過不足部分は、点対称の位置にある図形を組み合わせることで解消できました。

   

 それにひきかえ頂点のまわりはなんといびつであることよ。しかし、あまった赤枠の部分を組み合わせると、多角形の外角の和は360度なので、面積1の正方形をつくることができて、ピックの定理の「−1」に結びつきます。

 考えてみれば、長方形や三角形などでピックの定理を確かめてきたものの、どんな図形でも(穴がなければ)ピックの定理は成り立つのかということについては証明せずじまいになってました。とりあえず成り立つものとして、次のようなギザギザの図形の場合、頂点のまわりの角度はどうなっているのかを調べてみます。

     

 これまでと同様に膨張方式で考えると、次のようになります。

     

 頂点のまわりの膨張の仕方を少し工夫してみます。なお、辺が横切る不足部分(青、赤でぬりつぶしたところ)は、近所の点対称の位置にある水色とピンクで補うことができます。)

     

 すると、緑で囲んだ頂点のところは面積があまり、黄色で囲んだ頂点のところでは面積が不足しています。これをどう考えようか。たとえば、この図形の辺上を時計回りに歩いたとすると、緑の頂点では時計回りに角度を変えることになり、黄色の頂点では反時計回りに角度を変えることになります。つまり、時計回りの角度をプラス、反時計回りの角度をマイナスと考えると、結局のところ1周進むうちにちょうど360度だけ角度をかえることになるのではなかろうか。



 おお。ということは、ギザギザの図形でも、辺が交わっていなければ、頂点のまわりの面積の過不足をあわせると、面積「1」の正方形に帰着させることができるのだろうか?


〔余談1〕 そういえば、数教協(というか遠山啓?)が好きなものに「折れ線の幾何」というのがありましたね。なんだか思い出しちゃいました。

〔余談2〕 高橋誠『和算で数に強くなる!』によると、江戸時代には勾配や方位や方角はあっても、「角度」という概念はなかったようですよ!


(つづく)
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ピックの定理(穴があいた図形では?・2)

 きのうは穴のあいた図形の面積を、「全体の長方形の面積から穴の長方形の面積をひく」という式変形で考えてみましたが、きょうは「図形に切り込みを入れて、穴を外とつなぐ」考え方で計算してみます。

     

 図のように切り込みを入れて、切り込みの部分の辺が重なった1つの図形と考えると、黄色と緑の点は「辺上の点」として2回ずつ数えることになります。その結果、前回と同じ (内部の点)+(辺上の点)/2 という式を導くことができました。

 どうやら穴があいているときでも、ピックの定理を少し変形させた形の式が成り立つようです。ウィキペディアのピックの定理の説明によると、最後にひく1のかわりにオイラー標数というものをあてはめればよいらしいのですが…

 なんだその「オイラー標数」なるものは?

 オイラーの多面体定理「V−E+F=2」と関わりそうなので、その方向からの検索もあわせて調べてみたところ、とりあえずオイラー標数というのは「(頂点数)−(辺数)+(領域数)」のことだと考えてよさそう。しかしいまの場合、領域数をどう考えたらよいのだろう?

 ちなみに、これをn次元にまで拡張したオイラー・ポアンカレの公式というものもあるらしく、Vは0次元空間の領域、Eは1次元空間の領域、Fは2次元空間の領域、……と考え、これをどんどん続けていって、交互に−と+でつなげて(どっかできいた話だな!)計算する方法があるんだとか。面白そうだけどひとまずおいておこう。

 で、内部の点をp、辺上の点をqとしたとき、穴があいていてもいなくても、ピックの定理の拡張式 p+q/2−X が成り立つとして、Xはどうやらオイラー標数とよばれるもののようなのだけれど、私は「領域数」について理解できていないので、領域数のかわりにYを採用して、

  X=(頂点の数)−(辺の数)+ Y

と表すことにします。

 いま考えているのは平面図形であり、穴があいていてもあいていなくても、ひとつづきの辺で構成されているので、それこそ“植木算”の輪バージョンと考えれば、頂点の数も辺の数も同じになります。したがって、つねに (頂点の数)−(辺の数)=0 が成り立ちます。

 となると、穴があいていない図形のYは1であると考えて、穴が1つあくたびにYが1ずつ減っていくと考えれば、

  穴が0個のとき、Y=1 → p+q/2−(1)
  穴が1個のとき、Y=0 → p+q/2−(0)
  穴が2個のとき、Y=−1 → p+q/2−(−1)
  穴が3個のとき、Y=−2 → p+q/2−(−2)

となって、辻褄があうといえばあうのですが。

 また、切り込み方式で考えた場合、穴が1つのときには切り込みを1つ入れることにより、辺の数が1本増えて、(頂点の数)−(辺の数)=−1となり、そのかわり穴がなくなったと考えてYを1で固定すると、これまた辻褄があうにはあいます。穴が2個のときには切り込みが2本だから、辺が2本ふえて(頂点の数)−(辺の数)=−2、Yは1のままで、Xは−2+1=−1。どうかしらん?

 さすがにこれはちょっと乱暴すぎるかな。

 それはそうとしても、穴があいている場合の面積の式が思ったよりシンプルなのが気になるところ。これはひょっとして何か先の話があるのではなかろうか?と検索してみたところ、面白いページに出会いました。

(つづく)
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ピックの定理(穴があいた図形では?・1)

 となると気になってくるのは、どうして穴があいた図形ではピックの定理が成り立たないのか、本当に成り立たないのか、ということです。そこで、次のように、長方形の穴があいた長方形の面積を考えてみることにしました。

     

 あら、意外とすっきりした式になるじゃない。ピックの定理の式の最後の「−1」をのぞいただけじゃないか。膨張方式で確認しておくと、こんな感じです。↓

     

 外側の辺上の赤い点は内側に膨張するので、4分の1の正方形が4つあまりますが、内側の辺上のピンクの点は外側に膨張するので、4分の1の正方形4つ分が白いままです。なるほど、過不足がちょうどつりあって、(内部の点)+(辺上の点)/2 になるのだな。

 ということは、穴が2つになるとどうなるのだろう? 

     

 膨張方式で考えると、次のようになります。

     

 ひとつの穴のまわりに白い部分が面積「1」だけ足りないので、穴が2つになると、面積も「2」足りなくなります。ということは……



 なるほど、最後で−1ではなく+1がつくようです。いまは点を色分けして考えているので、形が変わっても点の計算は変わらないのですが、ピックの定理ではそれぞれの図形の面積で最後に「−1」がつくので、穴が2個ならば最後に「+1」がつき、穴が3個ならば最後に「+2」がつき、穴がn個ならば最後に「+(n−1)」がつくのではないかという予想が立てられそうです。でも、穴が1つの頂点でくっついていたりすると、また状況が変わってくるのだろうな。

(つづく)
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ピックの定理(三角形)

 今度は、直角三角形ではない三角形について考えてみます。まずは、次のような三角形。

     

 これは、頂点から底辺に垂線をひくことで2つの直角三角形に分けて考えればよさそうです。



 2つの直角三角形に分けたあと、それぞれの2倍の長方形を考えて、だぶっている格子点(特に橙色の2点)に気をつけながら式変形をしていったら、(内部の点)+(辺上の点)/2−1 に帰着させることができました。


 じゃあ、こんなのはどうだろうか?

     

 これは、長方形で囲って考えてみます。



 途中の式変形で多少の細工を必要としますが、なんとかいけそうです。


(つづく)
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ピックの定理(直角三角形)

 長方形はなんとなくピックの定理が成り立ちそうです。では、それを2分割した直角三角形はどうだろうか? たて4僉横5僂猟絞形を対角線で分割すると、底辺5僉高さ4僂猟廠兒鯵儼舛できます。斜辺に格子点はありません。

 まずは素朴に、膨張方式でいってみます。

     
 
 さすがに過不足が不規則だ〜。でも斜辺の中点を中心として点対称の位置にある2つの図形は合同なのではなかろうか。過不足を移動してみると・・・

   

 水色部分の過不足はうまくおさまりそうです。赤枠の余分な部分も、あわせると1になるんじゃないかしらん?

 次に、もとの長方形の面積の2分の1として計算してみます。直角三角形の内部の格子点は青の6個なので、長方形の内部の点は(6×2)個。辺上の格子点は、赤8個+黄色2個で 黄色の分がだぶることから、長方形の辺上の格子点は、(10×2−2)個。したがって、次のような式変形になります。

   


 斜辺上に格子点がある場合はどうだろうか?

   

 うん、いけそうですね。


(つづく)
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ピックの定理(長方形・2)

 格子点上に頂点のある長方形については、ピックの定理が一般的に成り立ちそうな予感がしてきました。これを「たて×横」の公式に帰着させてみたいな。

 たてa僉横b僂猟絞形を1儡岾屬粒併匸紊砲里擦襪函△燭討吠造岾併凖世蓮a+1)個、横に並ぶ格子点は(b+1)個。

 内部に並ぶ格子点の数は、 (a−1)×(b−1)(個)
 辺上にある格子点の数は、
 赤い点線のように分けて考えると、2a+2b(個)



 おお、「たて×横」と一致しました。

 ん?
 
 じゃあ、はじめからこんなのどうだろう。辺上に格子点をもってくるんじゃなくて、1^2の正方形に分割したときの中央に格子点をもってくるの。
 そしたら最初からストレートに4×5=20(^2)ですよね。

 

 まるで分離量の計算のような連続量の計算だ。長方形を正方形のタイルに分割してタイルの数を数えているようなものだから、別に不思議なことでもなんでもないのですが、ピックの定理を通してみると、a、bという値が長さという連続量になったり、点の個数という分離量になったりして、面白いです。

(つづく)
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ピックの定理(長方形・1)

 ピックの定理について考えたくなりました。

 ピックの定理というのは、等間隔に並んだ格子点の数をもとにして多角形の面積を求める公式です。頂点が格子点上にあることと図形の中に穴があいていないことが条件で、公式は(内部の点)+(辺上の点)/2−1=(面積)となります。

 私がこの定理を知ったのは、小学生の高学年のときだったと記憶しています。学校の授業でやったとは考えられないので、おそらく数教協の模擬授業だったのでしょう。当時数教協でこの定理が流行していたのか、それとも自分のまわりだけで流行っていたのかはよくわかりませんが、遠山啓の著書でピックの定理を扱っているものがあるようなので、ひょっとすると数教協好みの題材だったのかもしれません。

 ちなみに、なぜピックの定理を考えたくなったかというと、きっかけは高橋誠『和算で数に強くなる!』のp68の図でした(たぶん)。「江戸時代に植木算はありえなかった理由」について論じてあるのですが、p68の「4km^2の面積に1km^2ごとにマクドナルドがある図」を見て、なにかが呼び覚まされる気がしたのです。なんだろう、この懐かしさ・・・。その時点ではピックの定理という名前さえ忘れていました。「点の数をもとにして面積を求める公式を小さい頃に教わった・・・あれはなんだったのだろう・・・」と思いながらいくつかのキーワードで検索をしたら、すぐに「ピックの定理」にたどりつきました。

 そうか、そうだよ! 点の次に線、0次の次に1次ではなく、点をそのまま面に、0次から2次につなげて考えたっていいじゃないか。点の次に立体、0次から3次だっていい。大きさのない点は現実には描けない。たとえビンドゥ(点)だとしても、書いたものを虫めがねでみれば、それは塗りつぶされた円だろう。描いたとたんに“量”が生じるならば、それは長さではなく面積ではないか(厚みを無視すれば・・・)。
 
 というわけで、ピックの定理について考えたくなったので、まずは素朴に、長方形で考えてみます。

 たとえば、たて4僉横5僂猟絞形の面積を、普通の公式を使って求めると、次のようになります。

     


 この長方形が、1儡岾屬吠造鵑棲併凖西紊房,里茲Δ防舛れてあるとすると、内部にある青い点は12個、辺上にある赤い点は18個なので、ピックの定理を使うと次の式で面積を求めることができます。

     


 どうしてこのような公式で面積を求められるのか、次のように考えてみました。内部の点が、もとの位置を中央とする1^2の正方形に膨張したとすると、内部は12個の正方形で埋められます。

 次に、周囲の赤い点が、中央に向けて1^2の正方形半分だけ拡張したとすると下図のようになり、「1^2の正方形の4分の1の正方形」×4個分だけはみだします。

     

 したがって面積は、12+18/2−1=20(^2)

 これってどう?


(つづく)
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