TETRA'S MATH

数学と数学教育

結城浩『数学ガール/ゲーデルの不完全性定理』を物語として読むとき

 あの年の5月。ミルカさんが「僕」にどんな話をしてくれたのかをすっかり忘れていたのです。

 ミルカさんはあのとき《数列クイズに正解なし》という話をしてくれていたのです。そして、「世の中のことって、たいていそうじゃないかな」って語ってくれていたのです。

 きょうというタイミング(クリプキの話が一段落したところ)で『数学ガール/ゲーデルの不完全性定理』の感想をアップしようということだけ決めていた私は、『数学ガール』のオープニングを読みなおしながら、そうか、そういうことだったのか…としみじみ感じています。

 というわけで、きょうは結城浩『数学ガール/ゲーデルの不完全定理』についての感想を書こうと思います。今回も、前回に続いてオンラインレビューに参加させていただいたので、まっさらな読者の感想とは言えませんが、そのこと(レビューしていたときの感想がまざってしまうこと)をあまり気にせず、書いてみようと思います。

 なお、数学的ネタバレは皆無ですが、物語的ネタバレを若干含みます。

  

 『数学ガール/ゲーデルの不完全性定理』は、『数学ガール』『数学ガール/フェルマーの最終定理』に続く“数学ガール”シリーズ3作目です。読み物としてはそれぞれ独立していますが、時間は流れています。
 
 そう。

 私が3作目を読みながらいちばん感じたことは、「時の流れ」でした。

 1作目の中ですでに時は流れているのに、そのことをあまり意識していなかった。入学式から始まるので「まだ始まったばかり」という感覚があったのでしょう。高校1年生の時間がサクっと流れているのにひきかえ、高校2年生のなんという濃密さ。「僕」とミルカさんに、テトラちゃんが加わったことで、時間の密度がぐっと増しているのです(と、描かれています)。しかし日々は確実に過ぎていき、季節はめぐり、登場人物たちの学年が変わる。それとともに登場人物たちは成長していくし、登場人物どうしの関係性も少しずつ変化していきます。「僕」とガールたちの“間柄”に大きな進展はないとしても。

 2作目あたりで気づいてもよさそうなものなのに、あいかわらず時の流れに無頓着だった私。でも、3作目で気づいてしまいました。『数学ガール』は「サザエさん」じゃなかったのだ。

 永遠に小学校5年生のカツオ、永遠に小学校3年生のワカメ。彼らの1年は365日におさまらない。季節はあるけれど1年を超えることのない「とまった時間」の安心感の中で、少しずつ聞かせてもらえる面白おかしく温かいエピソード。

 『数学ガール』にそれを求めてはいけなかったのだ。

 時は確実に流れる。

 あのきらきらしたみずみずしい時間を、永遠の中に閉じ込めることはできない。いや、永遠の中に閉じ込めることはできる。閉じ込めて永遠にすることはできる。物語として、思い出として、過去として。しかし、永遠の中に閉じ込めたままずっと続けることはできない。いずれ必ず終わるときがくる。たとえそれが次の始まりだとしても。いつまでも、ここにはいられないし、ここにはいない。この物語はいつか終わる。別の物語として始まることはあっても、あるいは描かれないことはあっても、終わらないことはない。

 今回は「進路」の話も出てくるので、その切なさもあったと思います。高校生当時の自分と重ね合わせてあれこれ思い出したし、いま現在の自分への問いかけ-----私はどこにきているのか? これからどこに行くのか? どこかへ行くのか? 行きたいのか?-----もありました。

 余談ですが、自分の年齢を客観的にながめてびっくりした瞬間と言って思い出すのは、確か大学生くらいの頃、高校球児が自分より年下だということに気づいたときです。テレビで見る「甲子園のおにいさんたち」がいつのまにか年下になっていたなんて。ましてや、自分がサザエさんとおない年になったことに気づいたときのショックといえばそりゃもう。ということさえ今は懐かしい。そして気づけばフネさんの年齢に近づきつつある…

 思えば、『数学ガール』の登場人物の中では、立場的にも年齢的にも「僕」のおかあさんがいちばん近いのだから、リアルタイムで感情移入するのならばおかあさんが対象となってもよさそうなものですが、なんだか遠いのです。フネさんくらい遠い。お茶目で可愛らしくてタフ。おかあさんの時間だって流れているだろうに、定点観測をしてもらえそうな安心感がある。本来は私も「私はどこに行くんだろう?」って悩んでいる場合じゃなく(いや「僕」のおかあさんだって日常いろいろなことで悩んでいることでしょうが)、未来に向かって立ちすくむ若者に、軽やかに発想の転換を促す位置どころにいるのかもしれません。でも、病気の娘を抱えて夜中に病院に駆け込むような経験を何度かしても、なかなか「大丈夫!」とポンと背中をたたく域にいけないのでした。まだまだだれかに「大丈夫!」とポンと背中をたたいてほしい心持ち。娘が高校生になるまでには、もう少し貫禄がついているだろうか?

 いつのまにか過ぎていく時の流れを、1つの物語として、あるいは過去の一場面として思い描く、たったいまの自分も時の流れの中にいる。ということを考えるときでさえ、けして時の流れからは開放されない。どんな思考も思索も回想も時間で成り立っている。閃光のような一瞬も、滞る時間の澱も、繰り返しのリズムの中から立ちのぼり、やがては回収されていく。ということを、時の流れの中でふりかえる。そして前を向く。繰り返しのリズムの中から何が立ちのぼってくるのかわからない。次に何が起こるかわからない。時間の可能性は、つねに開かれている。

 そして、予想外のことが、まるで必然であるかのようにつながる瞬間があり、そのときどきの自分の心の声に耳をすませているだけなのに、己の意思とは別のものにいざなわれていく感覚を味わうことがあります。たぶんそれが、時を越えた<私>なのだと思います。

 3作目まで読んだあとに、『数学ガール』(1作目)のプロローグを読むと、はじめて読んだときにはなかった重み、せまってくるものを感じます。『数学ガール』が回想の語り口で始まることを知っていたはずなのに、あの時の中に私もリアルタイムで入り込んでいたのです。

 実際、2作目のときまでは映画を見るように本を読んでいたのに対し、3作目のときには、あの場所や、その場所に、私もいっしょに行っていました。

 「僕」の卒業まであと1年。

 きっと、あと2作分は一緒に数学できるだろう、あのきらきらした時間の中に、また、まだ、私もいけるだろう。そんな勝手な(あくまでも勝手な)期待を胸に、3作目を閉じました。

 何よりも自分のものにしたいのは、生きる私の時間です。

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やられた

もっと気の利いた一文を書いておけばよかったな(^^;。

まさかこの一文を引用なさるとは!>結城さん
『数学ガール言及リンク集(48)』

 本の内容にまったく触れていない感想(?)にも関わらずリンクしていただいてありがとうございます〜〜 道理で訪問者が多いわけだ。
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『数学ガール』言及リンク集のこと

 結城浩さんって、ほんとにマメな方だなぁと思います。

 たとえば『数学ガール』言及リンク集。著者本人がこまめに見つけてリンクしてくださっているので、読者のひとりである私もこのサイトから感想が読めて楽しいのです。すごい数なので全部は読んでいないのですが、気が向いたときに気が向いたものを開いて読んでいます。

 そう、『数学ガール』が面白いなぁと思うのは、感想も面白いところ。いろいろな感想があるのですが、どれもとても的確だと思う。的確だとも思うし、「なるほど、そうきたか〜!」「それは気がつかなかった、確かにそうだ」と思うこともあります。そして、読んでいて不快になる感想というのがほとんどない。もちろん、絶賛する内容ばかりではなくて中には「自分は受け付けない」という感想も含まれているのですが、その感覚さえ共感できる書き方がしてあるのです。

 あとは、どの一文を結城さんがチョイスしてリンクの看板にするのか、そのあたりも楽しいです。たとえばコマネタ帳さんの場合。コンパクトでわりと正統派の(?)紹介内容だと思うのですが、引用された一文は「なお、ユーリちゃんは俺の娘ですから」でした。それに対して「そこ引用ですかw。」と管理人さん。(^^) なお、これは結城浩さんの日記での引用の一文で、言及集では「フェルマーの最終定理へ「猫まっしぐら」な一冊になっています。 」という一文が選ばれています。

 ちなみに TETRA'S MATH はリンク集(32)でリンクしていただいています。選ばれた一文は「今度は数式としっかり向き合って、数学を楽しみたいと思います」でした。自分ならどこを選ぶだろう?と読みなおしてみたけれど、確かにここくらいしかないなぁ。もっと気の利いた一文を書いておけばよかったな(^^;。

追記>やられた
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結城浩『数学ガール/フェルマーの最終定理』

 結城浩『数学ガール/フェルマーの最終定理』を読みました。より正確に言うと、「実際に出版された『数学ガール/フェルマーの最終定理』をひととおり読みました」となります。

 実は、この本に関してはレビューアをさせていただいたので、出版前に原稿(の原形)を読んでいました。当初の予定ではレビューアをしていたことは伏せておいて、いつものように普通に感想を書く予定だったのですが、それはできないと読んでみて感じました。なお、書籍執筆のためのレビューというものがどういうものかについては、結城浩さんのサイトの「書籍執筆とオンラインレビュー」に書かれてあります(古いバージョンだそうです)。

 感想はいろいろあるのですが、もう少し時間がたってから書きたい気持ちです。いまはとにかく読んでみてください、と言うのが精一杯。

 Amazonでのレビューにもありますが、結城浩さんの文章には品があります。それがとにかく気持ちいい。でも、品があることはレビューをする前から知っていたのです。最近感じるのは、「思い入れ」の強さ。結城さんの場合は「想い」のほうが似合うかな。自分の著書に対する「想い」、数学を学ぶ面白さに対する「想い」、読者に対する「想い」。品のある人が想いを形にしたときの静かな迫力に圧倒されているこの夏です。

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カタラン数の母関数と一般項

 カタラン数の母関数の閉じた式は次のような形になることがわかりました。

  

 この式をべき級数展開したいという単純な希望があったとする()と、まずやりたくなるのはx=0を代入することですが、分母が0になってしまうのでできません。そこで、両辺に2xをかけて分母をはらってみます。

  

 この形にx=0を代入すると、左辺は0、右辺は+ならば2で、−ならば0です。だから−なのだ……と結論するのは乱暴だとは思いますが、少なくとも+で考えるのは無理があります。(ミルカさんは「不毛」という言葉を使っていました。なるほど、不毛といえばいいのか)

 というわけで、カタラン数の母関数の閉じた式を−のほうで考えていくことにします。

  

 このままで扱うのは大変なので、ルートの部分をひとつの関数として捉え、その関数をべき級数展開したときの係数の数列を<Kn>とします。

  

 つまり、K(x)=√(1−4x)とすると、カタラン数の母関数の閉じた式は次のように表せることになります。

  

 分母をはらって、

  

 具体的に級数の形で書いてみると、



 左辺の2xをC(x)のそれぞれの項にかけて、右辺のかっこをはずすと



 左辺と右辺で係数比較をします。



   数の項   0=1−K0
   xの項    2C0=−K1
   x^2の項   2C1=−K2
   x^3の項   2C2=−K3
       ・
       ・
       ・

 なるほど〜〜 

 ということは、CnはKnで表せるのだ!

  

 したがって、Knを求めれば、それをもとにCnも求まることがわかりました。

 となると、あとは√(1−4x)をべき級数展開して、係数Knをnで表せばよいことになります。べき級数展開といえばテイラー展開()。√(1−4x)=(1−4x)^(1/2)なので、微分はそれほど大変そうではありませんが、ある程度の目的意識をもたないと一般項まではたどりつけないなぁという感触があります。

 ではまず、K(x)を微分していきます。

  

 ピンクの−2については、あとで Cn=−1/2Kn+1に代入したときに−1/2を消すために、残しておきます。

 緑の部分はx=0を代入したときに1になります。

 となると、青い下線部分をどうするか、というのが考えどころになりそうです。これがうまいことまとまるからほんとに不思議。

  

 テイラー展開()したときの係数の分母にはn!があるので、Kn+1はどうなるかというと、

  

 これを係数比較で求めた()Cn=−1/2Kn+1という関係式に代入すると、

  

 というわけで、ミルカさんの求めた一般項()と一致しました。

 うーん、話ができすぎているっ

 こうなってほしいという想いのあまり、どこかで計算のズルをしていないだろうか私…



〔2018年3月25日追記〕

 分けて書いていた記事をひとつにまとめ、整理しました。
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カタラン数の一般項を求める場面の見所

 結城浩『数学ガール』においては、母関数の閉じた式を「僕」がつくり、それがミルカさんの手によって一般項へとつながっていきます。だけど、ミルカさん自身は別の方法ですでに一般項を求めていました。漸化式からもっていくという方針を途中で変更し、最短経路の問題に帰着させた結果、次のようなシンプルな式を得たのです。

   

 かっこの中の縦に並んだ2nとnの意味は、「2n個のものからn個のものを選ぶ組み合わせの数」つまり 2nCn と同じなのですが、何しろいまは数列の名前にカタラン数の頭文字のCを採用しており、これにコンビネーションのCが混ざると紛らわしくてしょうがないので、かっこの表記方法をとることにします。

 なお、最短経路に対応させる考え方は、「カタラン数」を扱っているWebページの多くに載っているのではないかと思います。面白い話ではありますが、ここでは詳しい説明は割愛して、先に進みます。

 さて、一般項を求めるだけならば、母関数を経由せずに最短経路に帰着させて求めたほうが、考え方もわかりやすいし、見た目もすっきりしています。でも、母関数から苦心して一般項を求めると、最短経路に対応させるのとは違う感動があります。

 私が面白いと思ったのは、最短経路に帰着させて解いたときの組み合わせの階乗の計算と、「母関数の閉じた式→一般項」のプロセスで出てくる微分の計算(次数が階段のように降りていくこと)がつながるところです。

 微分って連続量を扱う作業の代表のような印象があるけれど、次数が階段のように降りていくというのはあらためて考えると不思議です。

 なお、『数学ガール』では第6章で「下降冪階乗」というものが出てきていて、これを使うと何かと便利なのですが、TETRA'S MATH では下降冪階乗の表記を使わずに突っ切ります。

(つづく)
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カタラン数の母関数

 カタラン数の第(n+1)項の形がわかりました。





 次は、カタラン数の母関数を考えます。



 ,留κ佞鬚澆討澆襪函▲タラン数の積で構成されていることがわかります。そこで、カタラン数の積をつくるべく、△領省佞2乗してみます。




 この計算によって、x^nの係数がどうなるのかを考えたいのですが、例としてx^5の係数に注目すると……



 x^5の係数はC6と同じになってくれます。ありがとう〜〜



 同様に、x^4の係数はC5と同じになってくれるし、x^6の係数はC7と同じになってくれます。つまり、x^nの係数はCn+1になります。

 さらに、数の項はC0×C0=1×1=1なので、は次のように書き換えることができます。




 Cの添え字とxの次数が1つずつずれているので、い領省佞xをかけてそろえると……




 ァ櫚,魴彁擦垢襪函帖



 ΔC(x)についての2次方程式とみなせば、解の公式によりC(x)がxの式で表されます。



って、なんだかあたりまえのように書いてきましたが、どうしてこんなにきれいにまとまるのだろう!? 

(つづく)
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カタラン数の漸化式

 さて、カタラン数のイメージがつかめたところで、今度はカタラン数のそれぞれの項の間にどんな関係があるかを考えます。

 たとえば、最大の数値が8の9個のねんど玉があったとします。

   

 これを隣り合う2個ずつをくっつけていって、最終的に1個のねんど玉にするわけですが、最後に1個にまとまる直前に、2つのねんど玉ができているはずです。たとえば、青のねんど玉にする一歩手前で、0〜4の黄色のねんど玉と5〜8の緑のねんど玉ができていたとします。

   

 上の図では、黄色のねんど玉がどのようなプロセスでできたかはわからないけれど、そのプロセスは0〜4の5個のねんど玉を1つにまとめるプロセスの中に含まれています。なので、黄色のねんど玉ができるまでのくっつけ方はC4通りあるはずです。同様に、5〜8の緑のねんど玉ができるまでのプロセスはC3通り。なので、最後で(5個)と(4個)のねんどをくっつけるようなくっつけ方は、全部で(C4×C3)通りとなります。

 これとは別のくっつけ方を考えてみます。

   

 今度は、最終的に(3個)と(6個)になるようなくっつけ方です。黄色の(3個)になるまでC2通り、緑の(6個)になるまでC5通りなので、全部で(C2×C5)通りとなります。Cnのnの値がねんど玉の個数より1小さくなっていることに注意しながら考えていきます。

 すべての場合の数をまとめると

 (1個)と(8個)になる場合 → C0×C7 通り
 (2個)と(7個)になる場合 → C1×C6 通り
 (3個)と(6個)になる場合 → C2×C5 通り
 (4個)と(5個)になる場合 → C3×C4 通り
 (5個)と(4個)になる場合 → C4×C3 通り
 (6個)と(3個)になる場合 → C5×C2 通り
 (7個)と(2個)になる場合 → C6×C1 通り
 (8個)と(1個)になる場合 → C7×C0 通り

よって、



が成り立ちます。右辺をみてみると、すべてのCCにおいて、○+●=7=8−1 が成り立っています。

 なお、「隣り合うねんど玉2個をくっつけて最終的に1個にする」という考え方だと、C0…つまり最初からねんど玉1個の場合をどう考えればよいのか?という疑問が残りますが、上の式ではC0=1と考えることになるので、C0=1と考えていいことにします(なぜこう考えてよいのか、考えてよいのかどうか厳密な意味はわかりませんが、とりあえずここではそういうことにします)。

 というわけで、カタラン数の漸化式が求まりました。

   

 いきなりシグマですみません。例のごとく何かと雑なことになっていますが、結城浩『数学ガール』では丁寧かつきちんと記述されています。

(つづく)
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カタラン数のねんど玉

 フィボナッチ数からはなれて、今度はカタラン数です。

 結城浩『数学ガール』の「第7章 コンボリューション」では、カタラン数が扱われています。(ほぼ同じ内容を、Web上でも読むことができます。>ミルカさんとコンボリューション

 この第7章は、他の章に比べて冒頭部分がちょっとわかりにくいかな…という印象をもちました。「僕」もつっこんでいるように、村木先生の問題の出し方がすっきりしていないのです。でも、あとのことを考えると、適切な問題設定かもしれません。

 カタラン数の問題の出し方にはいろいろなものがあるようですが、『数学ガール』ではかっこのつけかたの問題として出てきます。たとえば 

 0+1+2+3=(0+(1+(2+3)))
         =(0+((1+2)+3))
         =((0+1)+(2+3))
         =((0+(1+2))+3)
         =(((0+1)+2)+3))
           3なら5通り(C3=5)。

というふうに。私はかっこをつけることを「ねんど玉をくっつける」イメージで考えました。

   

 0、1、2、3、4と書かれたねんど玉があるとします。まず0と1をくっつけて赤いねんど玉にします。次に、赤と2をくっつけて黄色のねんど玉にします。さらに、3と4をくっつけて緑のねんど玉にしたあと、最後に黄色と緑のねんど玉をあわせて青いねんど玉にします。

   

 別のくっつけかたを考えてみます。最初に1と2をくっつけて赤いねんど玉にします。次に、3と4をくっつけて黄色のねんど玉にします。さらに、赤と黄色をくっつけて緑のねんど玉にしたあと、最後に0と緑のねんど玉をくっつけて青いねんど玉にします。

   

 この場合、3と4の黄色のねんど玉を最初につくる方法もありますが、できあがった形が同じであれば1通りとして考えます。

 というようなねんど玉のくっつけかた(かっこのつけかた)が何通りあるかというと、5個のねんど玉(最大の数字が4)の場合は14通りとなります。(C4=14)

(つづく)
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テイラー展開と微分

 いま私には、ある関数f(x)をべき級数の形で表したい、というシンプルな希望があります。それはつまり、



のa0、a1、a2、a3、a4、a5、…を求めたい、と言い換えることができます。

 そこで、まずはこの式にx=0を代入してみます。そうすると、xが関わる式は全部消えるので、f(0)=a0であることがわかります。



 なるほど、xがついていない定数項はx=0を代入したときに右辺に残ってくれる。そこで今度は、f(x)を微分してa1のxをなくし、x=0を代入してa1だけを残してみます。



 同じように作業を続けていくと……



 したがって、f(x)は次のように表せることがわかります。




 以上のことを私は結城浩『数学ガール』で納得したのですが、実はほぼ同じ説明が数学靴龍飢塀顱陛豕書籍/平成11年発行)のp.85に載っていることに最近気がつきました。微分の章末で「発展・展望 導関数と多項式」というふうに付け加えられています。

 なお、上記の計算はテイラー展開でa=0とした場合なので、より正確にはマクローリン展開とよぶべきものなのかもしれません。

 教科書ではテイラー展開という言葉は出されておらず、「xについてのn次の整式f(x)をx−aについての整式……(略)……の形に書き直すことを考えよう」というふうに話が始まり、eの近似値を求める問題で終わっています。

 納得したいまだから、「ほぼ同じ内容」と思えるんだろうな。

(つづく)

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