TETRA'S MATH

数学と数学教育

拡張された「帰一法」

 「10cmで2gの針金は、30cmで何gになりますか」

という問題を出されたとき、私だったら、30÷10=3(倍)、2×3=6(g)という計算をすると思います。30cmという長さは10cmという長さの3倍なので、重さも3倍になる、という考え方です。しかし、

 「7cmで35gの棒は、15cmで何gになりますか」

という問題だったら、35÷7=5(g/cm)、5×15=75(g)と計算しそうです。15cmが7cmの何倍かと考えるのは面倒なので、1cmあたりの重さを利用して、15cm分の長さを求める、という考え方です。 

 これらの考え方にあえて名前を与えることにして、前者を「倍比例」、後者を「帰一法」とよぶことにします。

 倍比例も帰一法も2段階の計算で答えを出していますが、倍比例の場合は、最初の段階で出てくる「3」は量ではありません(といていいかどうかには微妙な問題がありますが)。これに対して後者の帰一法の場合は、最初の段階で出てくる「5」も量です。ただし、長さでも重さでもない、「1cmあたりの重さ」という新しい量です。

 別の言い方をすれば、倍比例では最初に同じ種類の量どうしを計算(長さ÷長さ)しているのに対し、帰一法では最初に違う種類の量の計算(重さ÷長さ)をしています。

 そうして、どちらの場合も、針金や棒は均質であることを前提にしています。

 さて、上記は小学校での算数の問題として考えた場合ですが、これが中学校での比例の練習問題だとすると、解法が変わってきます。

 「7cmで35gの棒は、15cmで何gになりますか」

   棒の重さは棒の長さに比例するので、
   棒の長さをxcm、重さをyg、比例定数をaとすると、
   y=axと表せる。
   x=7のとき、y=35なので、35=7aより、a=5
   よって、y=5x
   これにx=15を代入すると、y=5×15=75

 この場合の比例定数5は棒1cmあたりの重さなので、比例定数を求めることで答えを出す方法は、帰一法そのものということになります。つまり、aの値は、x=1のときのyの値であるので、「帰一法」というネーミングもぴったりです。

 さて、この問題を多次元量のベクトルの考え方にあてはめて考えます。レストランでの会計お会計不透明カフェも、かっこの中に4つの数値が入っていて、いわば4次元の世界を考えていましたが、こちらは「1次元」の世界です。つまり、7cmで35gの針金の関係を、

       (?)(7cm)=35g

と表す世界です。(  )は本来「要素の組み合わせ」つまりベクトルなのですが、要素が1つしかないもんだから、どちらも単に数値をかっこでくくったものになっています。

 これを帰一法で解くというのはどういうことかというと、(?)に(1cm)をかけたときの値(5g/cm)を求めるということです。

       (?)(1cm)=5g/cm

 したがって、15cmの重さは、

       (5g/cm)(15cm)=75g

となります。

 逆に言えば、お会計不透明カフェでの合計金額をY円、単価の組をA、それぞれいくつ注文したかの組をXとすれば、Y=AXという正比例のような式ができます。単価の組み合わせであるAが変わらない限り、いくつ注文するかで合計金額は決まるので、Xが決まればYが決まります。

   
  
 
 お会計不透明カフェでは、このAの要素をどうやって求めたかというと、

   

をかけることで、それぞれの単価を出すことができました。このように、多次元において
 
     
     

に対するYの値を並べたものは、いわば正比例での比例定数のようなものになります。遠山啓は『量とはなにか−供p203において、これを“拡張された帰一法”と呼んでも差し支えないだろうと書いています。
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「お会計不透明カフェ」と単位ベクトル

 あるグループで喫茶店に行き、コーヒーを5つ、ミルクティーを2つ、ジュースを1つ、アイスクリームを4つ注文したら、3630円になりました。なんとこの喫茶店、メニュー表がありません。それぞれの値段も教えてくれません(んなばかな・・・^^;)。ただし、単価は決まっていて、ちゃんと単価×個数の合計で計算されているようです。この喫茶店で、コーヒー1つ、ミルクティー1つ、ジュース1つ、アイスクリーム1つの値段が知りたかったらどうするか? といえば、1つずつ注文するのがてっとりばやそうです。

 1つずつ注文するというのは、レストランの会計と同様に考えると、それぞれ次のような縦1列の行列で表すことができそうです。

   

 そうしたら、こんな金額が出ました。

   


 おかげで、コーヒー1つ350円、ミルクティー1つ400円、ジュース1つ280円、アイスクリーム1つ200円という単価がわかりました。つまり、例のグループのお会計は、次のような計算だったというわけです。



 こんなに単純に考えられるのも、「コーヒーを注文した人に限り、アイスクリームとのセット料金520円」といったような面倒な(?)ことがないからなのでした。

 そして、コーヒーを5つ、ミルクティーを2つ、ジュースを1つ、アイスクリームを4つ注文したときの代金は、コーヒーの単価の5つ分、ミルクティーの単価の2つ分、ジュースの単価の1つ分、アイスクリームの単価の4つ分をあわせた額なので、次のように書き表すことができそうです。

   

 ほんでもって、4人で行って、4種類のものを1つずつ頼んで、「すみません、お会計は別々でお願いしま〜す」ということにすれば、こんなふうに表すことができそうです。↓
 

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訂正>ベクトルの内積を「レストランの会計」で考える。

 ベクトルの内積を「レストランの会計」で考える。において、

 しかし、上記のレストランの会計の場合、つまり、ベクトルを多次元量として捉える場合、もとの数値と出てきた数値に大きな違いはないように思えます。どちらの数値も、数あるいは量を表している。さらに、左側の[   ]内の数値の単位は「円」で、出てきた答えの単位も「円」。単位も同じ。

 がしかし、違うこともある。左側の[   ]内の数値は単価なので、より正確には、「円/個」。これに対し、内積の答えとして出てきたものは、合計の金額なので、単なる「円」。 

と書きましたが、こういう書き方は間違いだとあとで気づきました。[    ]は数値の“組み合わせ”であり、出た答えは1つの金額だから、違う種類のものである。ということが、「ベクトルと実数の違い」に対応するのでしょうね、きっと。

 では、「数値の組み合わせの要素が1つだったら(1次元だったら)・・・?」と思うわけなのでした。
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ベクトルの内積を「レストランの会計」で考える。

 高校でベクトルの内積をどう教えているのか、また、私はどう教わったのかを調べてみることにしました。

 まず、自分が高校生時代に使っていた参考書(『チャート式 基礎と演習 数学B』/数研出版/昭和56年発行)をのぞいてみます。(ベクトルは下線をつけて表しました↓)
0でない2つのベクトルabがある。定点Oが始点となるように平行移動して、OA=aOBbと表したとき、OAとOBとのなす角θ(0≦θ≦π)をベクトルa、bのなす角という.また,このとき|a||b|cosθを2つのベクトルab内積といい、記号abまたはabで表す.

 そして、平成9年発行の東京書籍の教科書「数学B」も、ほぼ同じ記述になっています(ただし、平行移動という言葉や、最後の(ab)という表記はなし)。教科書ではこのあと、abのとき内積は0になることや、内積の基本性質、成分表示 ab=a1b1+a2b2 と続き、内積の応用として、法線ベクトル、点と直線との距離、内積と円、中線定理などの図形の性質と内積との関係などが示されています。また、空間におけるベクトルの内積も示されています。

 成分で考えると、内積というのは、対応する位置にある成分どうしをかけあわせて、それらをたす計算に見えます。


 さて、ベクトルは矢線ではなく多次元量で教えるべきと主張していた遠山啓()が出している内積の例には、角度やcosθといったものはまったく現れておらず、「レストランの勘定書」で示されています(『量とはなにか−機戞紳析瑳]瑳辧p222)。この例を使うと、上記の、対応する位置にある成分どうしの積の和としての内積がしっくりしてきます。
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