TETRA’s MATH

亀井先生のハンドボールコート作成方法がサッカーボールコートに発展!

 亀井喜久男先生から、次なるレポートが届きました! ハンドボールコート作成方法が、サッカーボールコートに発展したとのこと。

 そうですよね〜! ハンドボールコートが描けるのだから、サッカーボールコートに応用しない手はないですよね。サッカー部員の生徒さんから相談があって、このたび新しい作成方法が発案されたようです。

 一般的にこういう運動場での大きなコートはどうやって描いているのでしょうか?

 亀井先生の学校のサッカー部では、30m、40m、50mで直角を作って延長というのが基本方法だったそうです。人によっては3m、4m、5mを使っていたのだとか。つまり、直角を作ったあと延長しなくちゃいけないわけですが、実際にやったことがない私が頭の中で考えても「かなりずれるだろうなぁ」と想像できます。

 実際、サッカー部員の生徒さんの話によると、タッチラインに数メートルに近いずれがあったとのこと。数メートルってけっこうな長さですよね。そういう状態だったのを公式戦にふさわしい正しいコートにしたいということで、亀井先生に相談がもちかけられ、新しい作成方式が誕生したという経緯のようです。

 コートのサイズには幅があるようですが、ちょっと調べてみたところ、ワールド・カップ、オリンピック、日本国内での国際試合、国民体育大会などの全国規模の大会では105m、68mのフィールドを使用するとのこと。というわけで、このたびご紹介するのも全体の長方形の辺の長さが105mと68mのコートの作成方法です。巨大な長方形ですねー!

 使うのはやはり3:4:5の直角三角形ですが、68という数値を直接使うため、51m、68m、85mの三角形を活用しているそう。なるほど! 68mが4の倍数でよかったよかった。120mの巻尺1本と、100m巻尺2本あれば速やかに作業は進むというお話でした。(が、120mの巻尺はけっこうお高いという噂も……!?)

 では、私が自分で描き起こした図をもとにご紹介していきます。おおよその内容は亀井先生に確認していただいておりますが、細かいところで勘違いが発生しているかもしれないので、わかったときにはそのつど訂正していきます。

 まずは、105mのタッチラインを1本ひきます。そして、0mのポイントから68mの半径で円を描き、51mの地点を中心にして85mの半径で円を描けば、2つの円の交点が片方のゴールラインをひくためのポイントになります……というふうに、つい、中学校数学の「作図」の感覚で書いてしまうのですが、運動場で巻尺を使ってポイントを見つけるときには、円を描くのではなく、2つの巻尺の該当する目盛りをきちんとあわせ、元の0の点もしっかりと押さえたうえで、巻尺をピンとしっかり張って見つけているそうです。そちらのほうが現実的だし、余計な線が残らなくてよさそうですね。

 一応ここでは、作図の意味がわかるよう、コンパスのあとを残すような形で図を示します。


 


 次に、タッチラインの52.5mの地点(タッチラインの中点)を中心として半径68mの円を描き、103.5m(=52.5m+51m)の地点を中心として半径85mの円を描くと、ハーフウェーラインをひくことができます。

 


 そして、タッチラインの54m(=105m−51m)の地点を中心に半径85mの円を描き、105mの円を中心に68mの円を描くと、その交点を結ぶことで、もう一方のゴールラインをひくことができます。


 


 大枠ができたら、そのほかさまざまなラインをひいていくそうです。

 以前の方法だと2m近くあったずれが、この方法では2cmですんだと報告があったのだとか。あまりうまくいきすぎていることに亀井先生は最初おどろかれて、にわかには信じられない感じだったようですが、生徒さんたちがそれだけ1つ1つしっかり作業を行っていったということなのでしょう。

 なお、このコート作成方式は、サッカー部顧問の5名の先生方の賛同も得られて、「サッカーコート富田学園方式」と命名されているそうです。略称「68方式」。(どんだけ大きいサッカー部だ!?…と思いきや、富田学園というのは学校の名前ではなく、学校法人の名前なのですね。この学園に属する学校のサッカー部が4つあるそうです。)

 そのうち動画が発表されるようなので、発表されたらまたご紹介します!



 というような内容でブログでご紹介させていただく予定であることを亀井先生にメールでお伝えしたところ、完成版ができる前のリハーサル風景を You Tube にアップしてくださいました。↓
https://www.youtube.com/watch?v=FoQZtqpB1lY

(ハーフウェーラインをひく作業は含まれていないようですね)

 完成版が公開されたら削除されるそうですが、個人的には、リハーサルならではのリアルな雰囲気が味わい深く、楽しく拝見しました。

 ではでは、本番の動画ができたら、また紹介させていただきまーす!!

[2015年1月29日追記]
リハーサル風景その2が投稿されたようです↓
https://www.youtube.com/watch?v=cDOveIKCKXc
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三角パックの「捩れた話」+爪楊枝の水戸芸術館タワー/高校の先生の数実研レポート

 昨年9月、北海道の高校の数学の先生からメールをいただいていました。テトラパック(牛乳の三角パック)についての問い合わせです。おおっ!この話ですね→Tetra's牛乳の三角パック

 私は正四面体型のものが好きで、テトラポッドほか消波ブロック一般と、(正四面体ではないけれど)牛乳の三角パックに興味をもっていました。前者は単に好きだっただけですが、後者はとあることがきっかけとなり、一時期かなりこだわってアレコレ調べていました。

 何にこだわっていたのかというと、牛乳の三角パックについての間違った考察が数学の本や展覧会で発表されており、どうしてもそれに納得がいかなかったのです。数学の理論の話ではないので、数学的に大きな問題ではなかったのですが、間違った認識をもとに「ほらね、身のまわりで数学ってこんなに役に立っているんだよ」と語るその安易な態度に強い違和感を覚えました。

 それは、ものを作る人に対しても、数学に対しても、失礼な話だと思う。

 とまあ、語り始めるとまた熱くなってしまうので、詳細は上記リンク先を観ていただくとして、高校の先生からのメールの話です。

 その先生は知人と話をするなかで、テトラパックは正四面体ではないということを知ったそうなのです。そのことを教えてくれた知人は“テトラパックは三角柱の中に隙間無く詰め込むことができるけど、正四面体はできないから「テトラパック≠正四面体」である”と説明されたのだとか。

 この「三角柱の中に隙間無く詰め込むことができる」という話が、私がこだわったことでした。実際に牛乳の三角パックは、クレートとよばれる六角柱に近い形の容器にうまいことおさめることができるのですが、数学の本や展覧会では、それをあるひとつの空間充填形(辺の比が2:√3:√3の四面体)に結びつけて考察していたのです。

 どう考えてもこの人たちは本物の三角パックを使って考察していない、ひょっとしたら見たこともないのでは?と思いました。頭の中だけで勝手にそう考えている、あるいはどこかで読みかじった文献をもとに考えているだけで、自分で検証をしていない、と。

 大学や公的な機関も関わっている大規模な展示だったので、多くの人が関わっていると思うのですが、どうしてひとりもおかしいと感じなかったのだろう、感じたとしてもそのまま展示しているのだろう、私ひとり空間感覚がおかしいのだろうか…と、不思議でしかたありませんでした。

 おっと、また熱くなってしまいました、高校の先生の話でした。で、その先生がいろいろ調べるなかで、私のサイトを見つけてくださって、メールをくださったわけなのです。先生の考察は数実研のレポートとして発表されています。↓

 数学のいずみ数実研レポート発表一覧>第81回〜>

   捩じれた話 室蘭東翔高校 長尾 良平

 水戸芸術館タワーも出てくるので「捩れた話」というタイトルになっていると思うのですが、例の牛乳の三角パックの「捩れた話」の意味も絡めてあると思うわけであり、感涙にむせびそうですワタクシ。サイトに書いておくと、いつかだれかが読んでくださるのだなぁ…!

 私が以前 2:√3:√3 の四面体を導き出したときには、中村義作著「自己拡大する四面体」(『数理パズル』所収、中央公論社、1976)を参考にして、立方体を切断したものを組み合わせる方法を使いましたが(最初から空間充填形として切り出す)、長尾さんのレポートでは、タワーにしたときに捩れが生じない展開図をもとにして考察されているのが楽しいです。あと、爪楊枝を使ったYogeometryでは辺(稜線)が強調されるのが面白いです。

 飲み物のみならず、四面体型の包装はいまでも地道に活躍を続けているように感じています。

 あと、四面体型包装といえば、パットラスをお忘れなく!! 先日、セブンイレブンの枝豆を初体験しました〜!

 

〔2018年3月16日:リンク整理につき記事の一部を修正しました〕

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遠山啓『代数的構造』から、いまいちど遠山啓の数学観と、ピアジェの構造主義を覗く。

 遠山啓『代数的構造』[新版](日本評論社/1996年)の第6章を読んでいます。

 遠山啓はこんなことを語っています。

 数学はどれほど抽象的であっても,その究極の根源は実在のなかにあるといわねばならない.もちろんその実在とは数学を創り出した人間をもそのなかに含んだものとして考えているのである.

 (p.230)

 私は、遠山啓の「量の理論」の根本思想のうちの1つは上記のような数学観だろうと思っていますし、私もそれに共感しています。

ところで実在は単に空間的でもなく,単に時間的でもなく,双方を兼ねた時間・空間的なものである.だとすれば数学も当然時間・空間的なものでなければならないだろう.
 たとえば生物はそのようなものであるといわねばならない.

 (p.230)

 生物は空間的な構造をもちながら、しかも時間的に変化しているが、そのようなものを取り扱うのにふさわしい理論が数学のなかで創り出されているかというと、答えは否である、と書いています。なお、ウィーナーの“動的体系”にちょっと触れています。
[関連エントリ]遠山啓の「数学の未来像」と、山口昌哉のコメント

 遠山啓がこの文章を書いたのは、“構造主義”が盛んな議論のまとになっていた時期のようですが、遠山啓はこれに対して立ち入った議論を展開するつもりはないが……という前置きつきで、ピアジェの構造主義論を紹介しています。それは、「構造主義がややもすると陥りがちな硬直からそれを救い出し、その生産性を回復するために書かれたと思われる」ものであったからなのでしょう。

 ピアジェは構造の条件として、「1.全体性」「2.変換性」「3.自己制御」の3つの条件を提示したようです。そして「1.全体性」については、つぎのように述べているもよう。

 「構造固有の全体性の性格ははっきりしている.というのは,すべての構造主義者たちが一致して認めている唯一の対立は,構造と集合体 ―― すなわち全体とは独立した要素から成り立っているもの ―― との対立だからである」

 そして単位元の話になっていくのです。数学的構造を例にとっていえば、群の単位元eは、群という構造のなかでそれが占める特殊な性格、すなわち、他のものaとかけて他のものaになる(ea=ae=a)という性格によって規定されている。これは構造のなかの有機的な構成部分なのであり、この点が、それ自身が他とは独立に存在している集合の要素とは違っている、と遠山啓は語ります。

 「しかし,このように,全体と部分とを氷炭相容れない対立概念とみることは,誤りであろう」と話は続きます。ピアジェは、

 「あらゆる領域で,認識論的態度が,構造的法則をもった全体性の承認か,それとも要素から出発する原子論的合成かといった二者択一に帰せられると思い込むのは,誤っている」

と述べているようで、遠山啓はこれを、「簡単にいうと,要素なき全体か,全体なき要素か,という問題設定そのものが誤りである,というのである」とまとめて、事実は、全体が要素への分解をどの程度まで許すかという問題になるだろう……と話を続けます。

 そして化合物と元素の関係などが例にあげられたあと、このような分解・合成、あるいは非可逆性と可逆性のもっとも大きな問題は、「生命の合成」であろうと書いてあるのですが、私のいまの関心は、化学的、生物学的アプローチよりも、社会的アプローチにあるのでした。

 すなわち、「私」と「社会」の関係。もちろん私は生物ですし、さまざまな元素で構成され、元素で生かされていると思うので、化学的、生物学的であることと、社会的であることとは、それこそ分けて考えられない問題だろうと思っています。

 次の「2.変換性」については、群という構造のなかでの「x → ax=y」や「x → axa^(−1)」という変換の例が示され、構造は種々の内部変換を許す有機的全体である、とまとめてあります。

 最後の「3.自己制御」に関しては、上記の変換の多くは構造の枠内で起こる(変換に対して閉じている)が、そうでないときは構造そのものを拡大して、その拡大された構造はその変換に対して閉じるようにする、ということについて述べてあります。たとえば自然数の集合は減法に対しては閉じていないが、それに0と負の整数をつけ加えることによって、減法に対しても閉じた整数という構造が得られる、と。

 それは決して静的な構造ではなく、動的な構造、もしくは体系である。「構造をこのように解釈するならば硬直した形骸ではなくなるだろう」という一文で、この章はしめくくられています。

 ついでといってはなんですが、『構造主義』(ジャン・ピアジェ著/滝沢武久・佐々木明 訳/白水社【文庫クセジュ】)の訳者まえがきから次の部分を抜き出してみます。これは1970年に書かれたものであり、もしかしたら遠山啓が自分の主張にあう文献としてピアジェを引き合いに出したというよりも、遠山啓がピアジェの影響を受けたのではないか、とも思えてきます。

ピアジェによれば、構造は予定調和的に存在するもの(前成説)ではなく、構成されるものである。そして彼は、その構成過程を、発達心理学的研究から立証したのだった。だから、彼の構造主義は、構成主義でもあるといえよう。

 (p.6)

 これまでに述べたことからわかるように、本書は、とくに人文・社会科学における構造主義のある種の静態的傾向に対する、構成主義の側からの批判となっている。

 (p.8)

 

 

〔2018年3月19日:記事を整理・修正しました。〕

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数学者としての遠山啓/亀井哲治郎さんの文章から

 結城浩『数学ガール/ガロア理論』の「あとがき」で、結城さんに「ぜひガロア理論を」と推したのは、亀井哲治郎さんだということを知りました()。亀書房の亀井哲治郎さん、もと『数学セミナー』の編集長です。

 亀井哲治郎さんというと、小冊子『いま,遠山啓とは』に掲載されていた「『数学セミナー』と遠山啓」を思い出します(『数学教室』2010年12月号から転載されたもの)。この文章のなかで、数学者としての遠山啓の顔と、『数学セミナー』の編集会議に出席する遠山啓の顔を見られるのですが、きょうは「数学者としての遠山啓の顔」に注目したいと思います。

 まずは1979年に遠山啓が逝去して、『数学セミナー』誌の追悼特集の企画があったときのこと。亀井さんは遠山啓の数学的業績についての記事をぜひ入れたいと考えていて、編集顧問のひとりである清水達雄さんのアドバイスで木下素夫さんに相談したところ、「それは岩澤(健吉)さんにお願いしなさい」と言われたのだとか。

 なお、亀井哲治郎さんは、遠山啓の学位論文『代数函数の非アーベル的理論』(1950年)が大変すぐれた仕事であり、それをさらに深化・展開させることをその分野の研究者から期待されていただろうし、本人もそのように期していただろうけれど、ゆえあって踏み込んだ数学教育との二足のわらじを履くことの困難さを前に悩み抜いて、数学教育の道を選択した……という話を人から聞く機会があり、自分の経験とも重ねて、大いに感動したことがあったようなのです。

 しかし、岩澤健吉さんの高名はきいていたものの、『数学セミナー』ではまだ一度も原稿をお願いしたことがなく、一介の数学雑誌にこのような原稿を書いてくださるものだろうか…という思いもあったようです。そして勇を鼓してプリンストンに手紙を出したところ、すぐに「快諾」の返事が届いたのだとか。

 その岩澤健吉さんの文章も、小冊子のなかで、亀井哲治郎さんの文章の直前に掲載されています(『数学セミナー』1980年3月号からの転載)。

 亀井哲治郎さんにとって岩澤健吉さんのこの原稿は、40年間の数学編集者の自分にとって記念碑的な出来事の一つである、と書いておられます。きっとそうなんだろうなぁ!と思います。

 岩澤健吉さんの文章は(岩澤さんの希望で)2号あとの1980年3月号に掲載されたようですが、「遠山啓追悼特集」である1月号では、銀林浩・齋藤利弥・清水達雄・宮崎浩の4名による座談会「遠山啓先生の数学観」が収録されていたらしく、そのなかから次のような話が抜き出されています。アンドレ・ヴェイユと遠山啓に直接接点があったことを、私はこの小冊子を手にするまで知りませんでした。

 1955年の「代数的整数論国際シンポジウム」のときに、遠山啓の論文をよく知っていたヴェイユが遠山啓に「おい、お前はいま何をやってる?」と聞き、遠山啓が「いま教育の問題を一生懸命やってる」と答えたら、ヴェイユが「教育は大事だから」といった、というエピソードです。

 しかし清水達雄さんが言われるには、やっぱり本当は数学をやりたいのだ……と、アーベル関数の話をきいたことがあったようで、遠山先生はそのときずいぶん迷われたらしい、と書いてあります。国際的な評価を受けている仕事でもあるし、やっぱりそれをやりたいんじゃないか、と。だけど、どちらを選ぶかというときに、遠山啓は教育のほうに没入していった。

 さらに齋藤利弥さんが、論文に関するヴェイユと遠山啓のやりとりについても触れておられて面白いです。そもそも遠山啓の先の学位論文は、1938年に発表されたヴェイユの論文を出発点としていて、どちらも「非アーベル的とは何か」という点に主眼があるらしいのですが(←岩澤健吉さんによる解説)、ヴェイユはその続きをやる気はなかったらしいのです。ヴェイユ自身はもうあれ以上、テクニカル・ディテールまで入って面倒なことをやる気はなかった、と。

 そんななか遠山啓が別刷をヴェイユに送り、ヴェイユから返事が来て、自分の仕事に対してお前が “so much time and lobor” を費やしたということは “It's quite flattering to me” だと書いていたんだとか。flatteringというニュアンスがよくわからないのだけれど、自分の心をくすぐるようなことだったという意味ですかね、と齋藤さん。

 このたび調べてみたら、アンドレ・ヴェイユと遠山啓は3歳違いなのですね。遠山啓の生まれた年を確かめるために久しぶりにウィキペディアをのぞきにいったのですが、説明のなかの「数学教育の分野でよく知られる」の一文を、今回は複雑な心持ちで読みました。あと実は私も、岩澤さんの文章のなかにWeilとあったとき、「ん?ワイル?」と思ってしまったのだった。

 ちなみに、遠山啓『代数的構造』[新版](日本評論社/1996年)は6章仕立てになっていて、第5章がガロア理論、第6章が構造主義です。構造主義については、先日、クラインの4元群のところでちょろっと触れました。この第6章はたった5ページで、セクションタイトルは2つ、「空間的と時間的」「開いた体系,閉じた体系」となっています。その内容の一部についてはこれまで折に触れ書いてきましたが、近いうちにもう一度まとめようと思っています。

 『代数的構造』が筑摩書房から出たのは1972年でしょうか。ヴェイユと言葉を交わしてから17年たっていますね。そのころヴェイユはプリンストン高等研究所にいたようです。岩澤健吉さんはそのころはもうプリンストン大学にいらしたのかな。

 それぞれの時間が流れていったのですね。
 

 

〔2018年3月19日:記事を整理・修正しました。〕

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ピタゴラス数の行列は、まだまだいろいろ遊べそうですよ〜!(まとめ)

 亀井喜久男先生の『フェルマー系列整数辺直角三角形及びハンドボールコート作成新方式の提案』を読みながら、そこからちょっとだけ発展させて考えたことを書いてきました。

啓林館 高校数学 教育情報誌 Focus Gold 通信 Vol.6 http://www.shinko-keirin.co.jp/keirinkan/ tea/kou/sugaku/focus_gold/pdf/vol006.pdf

 亀井先生は、(3,4,5)から出発して3つの行列を次々とかけるときに、原始ピタゴラス三角形が次々に生成され、先頭が奇数で後尾が斜辺であるどの原始ピタゴラス三角形も、必ず(3,4,5)からたどっていけることを証明して、とある整数論の先生に届けたのだそうです。そうしたところ、類似の研究がアメリカにあるようだという話をきき、ショックを受けられたのだとか。しかし、自分自身の力で「3進樹の節点にピタゴラス原始三角形が生成すること」にたどり着いたことに満足した、とも書いておられます。また、フェルマー系列については漸化式も込みで数学検定協会の数学検定4段の問題になったそうです。

 このあとは、例のハンドボールコート作成の話になっていきます。(20,21,29)という直角三角形がこんなところで役に立つなんて!と感動したことについてはすでに書きましたが、ハンドボールコートを正方形2つが並んだものと考えると、正方形の1辺が20mであるため20mから始められることと、直角をなすもう1辺が20mよりちょっと長いくらいが都合がよいことを考えると、まさにこの直角三角形はうってつけ!と思ったわけなのです。個人的には和が70mになるのも気持ちいい。

 なお、亀井先生がこの発見をされたのは20年も前のことらしいのですが、私はこのたび初めて知りました(いや、そういう概念は山ほどあるでしょうが…^^;)。現在、「ピタゴラス数 行列」で検索をかけると、いろいろなページがひっかかってきます。

k-ピタゴラス数の代数と幾何学
http://www.tsuyama-ct.ac.jp/matsuda/mathclub/K-pita.pdf

複素ピタゴラス数の構造について
http://www.tsuyama-ct.ac.jp/matsuda/mathclub/tavhibana_2012.pdf

ピタゴラスの数を生む行列
http://www.hamadajuku.com/column/math/pythagoras.aspx

ピタゴラス数とロバート行列
http://www-cc.gakushuin.ac.jp/~851051/student08/08narita.pdf

Pythagorean Triple
http://mathworld.wolfram.com/PythagoreanTriple.html

Tree of primitive Pythagorean triples(Wikipedia)
http://en.wikipedia.org/wiki/Tree_of_primitive_Pythagorean_triples

 亀井先生のお話だと、整数論の先生がおっしゃっていた研究はHall氏(1970年)だと思うとのことですが、ウィキペディアを見ると、もっと古い関連研究もありそうな感じですね。なお、5年ほど前に(国内で)書籍も出ているようです。

 それほど複雑な計算を必要とせず、自分であれこれ試してみることができる楽しい題材だと思います。今回私はほんの入り口でしか遊びませんでしたが、さらに発展させていくと面白いかも! たとえもうほかの人が“発見済み”でも、それを自分でたどることはやっぱり楽しいし、感動する。それこそが“発見”なのかも!
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ピタゴラス数の系列で、行列による操作が何を起こしているのか文字式で確かめる。

 亀井喜久男先生の『フェルマー系列整数辺直角三角形及びハンドボールコート作成新方式の提案』を読んでいます。

啓林館 高校数学 教育情報誌 Focus Gold 通信 Vol.6
http://www.shinko-keirin.co.jp/keirinkan/ tea/kou/sugaku/focus_gold/pdf/vol006.pdf

 きょうは、亀井先生の授業実践記録からはなれて、自分で考えたことを書いてみたいと思います。



 整数辺直角三角形の3辺の長さの組のうち、ピタゴラスの系列(直角をはさむ長いほうの辺と斜辺の差が1)も、プラトンの系列(直角をはさむ1辺と斜辺の差が2)も、フェルマーの系列(直角をはさむ2辺の差が1)も、とても似ている行列で生成していくことができることがわかりました。その行列とは、対角要素が1と1と3になっていて、あとの要素が全部2であるような行列です。ちがっているのは符号のみ。

 どうしてこういうことが起こるのかを、文字式で考えてみることにします。縦ベクトル(a,b,c)が「ある操作」にあたる行列によって(A,B,C)になるときに、A、B、Cのそれぞれをa、b、cを用いて次のような式で表すことができます。



 よって、A^2+B^2 と C^2 はどうなるかというと、



となります。a^2+b^2=c^2より、いつでもA^2+B^2=C^2が成り立つことがわかります。ということは、系列によらず、最初の縦ベクトルの数値の組がピタゴラス数になっていさえすれば、この行列から新たなピタゴラス数を作ることができるはずです。

     

 となると、ピタゴラス数の一覧が見たくなってくるというもの。検索したら、高校の天文研究部がこんなページを作ってくれているのを発見!サンキュー!↓
http://www.hyogo-c.ed.jp/~meihoku-hs/club/astronomy-py.html

 最初の30組をみていくと、ピタゴラス、プラトン、フェルマーのどの系列にも属していない組み合わせが14個あります。そのどの組み合わせについても、上記の行列を使えば、新たなピタゴラス数を導いてくれるはずですよね。

     

 これまで、3辺のうちの2辺の差で系列を考えていたので、もしかすると上のほうは直角をはさむ2辺の差が17の系列かもしれないし、下のほうは直角をはさむ2辺の差が23の系列かもしれない、と予測をたてることができます。

 同様に、フェルマー系列のなかの1組に、ピタゴラス系列の行列で操作を加えても、やっぱりピタゴラス数が出てきます(その系列には属さないものだけれど)。

 思えば、最初のほうで示したA、B、Cの式で、1列めまたは2列めだけにマイナスがつくと、影響を受けるのはaまたはbを1つだけ含む積の符号だけなので、A^2+B^2=C^2に影響はなさそうですね。あとは辺の長さの差の問題であり。

 で、フェルマーの系列の行列に関しては、B−A=a−bもいえるので、(3,4,5)から(21,20,29)、(21,20,29)から(119,120,169)というふうに、直角をはさむ2辺の長さの大小関係が交互になっていくというのも納得です。ということは、直角をはさむ2辺の長さの差が同じであるような系列のピタゴラス数を作ってくれる行列と考えてよさそうですね。

 また、ピタゴラスの系列の行列の場合、C−A=c−aとなり、プラトンの系列の場合、C−B=c−bとなるので、直角をはさむ1辺と斜辺の差を一定とした系列を見つけられそうです。

(つづく)
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ピタゴラスの系列と、プラトンの系列を生成する行列

 亀井喜久男先生の『フェルマー系列整数辺直角三角形及びハンドボールコート作成新方式の提案』を読んでいます。

啓林館 高校数学 教育情報誌 Focus Gold 通信 Vol.6
http://www.shinko-keirin.co.jp/keirinkan/ tea/kou/sugaku/focus_gold/pdf/vol006.pdf



 というわけで、整数辺直角三角形の3辺の長さの組のうち、ピタゴラスの系列(直角をはさむ長いほうの辺と斜辺の差が1)とプラトンの系列(直角をはさむ1辺と斜辺の差が2)についても、行列を見つけられないか考えてみます。

 ピタゴラスの系列については、次のような式を考えることになります。
 

 まんなかの行列の逆行列を求めると・・・
 

 これを最初の式の右からかけると・・・
 

 プラトンの系列についても同様に考えていきます。
 

 まんなかの行列の逆行列を求めると・・・
 

 これを1つ上の式の右からかけると・・・
 

 いずれも行列のなかの数値は1、2、3だけで、シンプルな形をしています。なんだかフェルマーの系列の行列と雰囲気が同じだぞ。

 で。

 フェルマーの系列で求めた行列の1行目と2行目を入れかえてみると・・・
 

 な〜んと! 数値の並びはまったく同じで、符号だけがちがうという状況になってしまうのです。つまり、絶対値だけに注目すると、対角成分が1と1と3で、あとは2という数の並びをしている。なんでこんなことが起こるんだ!?

 しかも、フェルマーの系列で1行めと2行めを入れかえちゃったから、縦ベクトル(4,3,5)から始めなくちゃいけないかというと、そんなことはなくて、(3,4,5)から(21,20,29)を作ってくれるし、(21,20,29)から(119,120,169)を作ってくれるのです。うーん、すごい。

 こういう事態になると、亀井先生の授業記録からははずれますが、3列めだけが負の数である行列も考えたくなるというもの。試しにやってみたら、こちらは(3,4,5)から(1,0,−1)が出ちゃいました。直角三角形にはならないけど、一応 a^2+b^2=c^2 はたもたれていますね。そのあとは(3,4,5)にもどるので、これを繰り返すわけですね。

 うーん、それにしても不思議だ。

(つづく)
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続き&更新に時間がかかっております。

 亀井喜久男先生の『フェルマー系列整数辺直角三角形及びハンドボールコート作成新方式の提案』を読んでいます。

啓林館 高校数学 教育情報誌 Focus Gold 通信 Vol.6
http://www.shinko-keirin.co.jp/keirinkan/ tea/kou/sugaku/focus_gold/pdf/vol006.pdf

 1つ前のエントリで示した逆行列は、一部の数値が入れかわってしまっていたので、訂正しました。あと、最後の「b÷cの値は√2の逐次近似となりますね」というのは「c÷bの値は√2の逐次近似となりますね」の間違いでした(こちらも訂正済みです)。失礼しました。



 というわけで、整数辺直角三角形の3辺の長さの組のうち、フェルマーの系列(直角をはさむ2辺の差が1であるようなもの)をどんどん作っていくことができる行列があることがわかりました。↓

     

 でも、ほんとにいつでもそうなるの?という疑問があるわけで、とりあえず b=a+1、c^2=a^2+b^2 とおいて文字式で地道に計算したところ、確認できました。確かに、この行列で(a,b,c)から(A,B,C)をつくると、やっぱりB=A+1になるし、C^2=A^2+B^2になります。n=0〜3の場合の4組の数値から導き出した行列なのに、そんなにうまくいっていいものだろうか?と不思議な気分。

 その不思議な気分をわきにおいといて、では、ピタゴラスの系列(直角をはさむ長いほうの辺と斜辺の差が1)、プラトンの系列(直角をはさむ1辺と斜辺の差が2)についても、行列が見つけられないか考えてみます。



 と、ここまで書いたはいいのですが、少し前にノートパソコンをかえて環境をかえたら、数式を含むエントリの投稿が非効率になってしまい(というか慣れの問題だと思う)、数式ひとつ入れるのにえらく苦労しております。いい方法がないか模索中です。あるいは、慣れまする。

 というわけで、興味をもたれた方は、ピタゴラスの系列と、プラトンの系列についても、「ある操作」にあたる行列を見つけてみてくださいませ。そして「あれ?」と思ったら、「フェルマーの系列」の行列で、1行目と2行目を入れ替えてみてくださいませ。そうすると、びっくりすることが起こります。

(つづく…できればつづけたい…)
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フェルマー系列整数辺直角三角形の、漸化式と行列

 亀井喜久男先生の『フェルマー系列整数辺直角三角形及びハンドボールコート作成新方式の提案』を読んでいます。

啓林館 高校数学 教育情報誌 Focus Gold 通信 Vol.6
http://www.shinko-keirin.co.jp/keirinkan/tea/kou/ sugaku/focus_gold/pdf/vol006.pdf



 「フェルマー系列」の整数辺直角三角形というのは、直角をはさむ2辺の長さの差が1であるような直角三角形のことで、辺の長さの組み合わせは(3,4,5)や(20,21,29)などが考えられます。この(20,21,29)という組み合わせが、ハンドボールコート新作成法〔岐阜東高校方式〕で活躍するわけであり、その話が上記の授業実践記録の後半で出てきます。

 ちなみに(20,21,29)の次は(119,120,169),その次は(696,697,985)だそうです。で、フェルマーの系列の数値の組は、ピタゴラスの系列やプラトンの系列のように、簡単な作り方を見つけることができないのだけれど、亀井先生は数値を見渡していてある漸化式を発見したそうなのです(1991年のことだそう!)。って、さらっと書いておられますが、いったいどうやって見つけたんでしょ!? 私も一応チャレンジしましたが、まったく思いつかず…

 その漸化式とは、次のようなものです。



 n=0のときには三角形の辺になりませんが、一応、(0,1,1)から始めると、n=1のときに(3,4,5),n=2のときに(20,21,29)、n=3のときに(119,120,169),n=4のときに(696,697,985),……となります。

 ほんでもって亀井先生は、「この式から線形性を予感し行列方程式を立てました」とのこと。私はここを読んだときに、フィボナッチ数列の一般項を行列で求めたときのことを思い出しました。

 で、あのときと同じ感覚で、3つの数の組を変化させるような「ある操作」としての3×3行列を考えます(なお、「ある操作」という言葉は私が勝手にもちだしました)。

 

 この「ある操作」がどういう姿をしているかを知るために、真ん中の行列の逆行列を右からかけてみます。真ん中の行列の逆行列は、

      

となるので(計算サイトで計算した結果だけどあってるかな?)、これを先ほどの式の右からかけると……

    


 なんということでしょう!(「大改造!!劇的ビフォーアフター」風)


 亀井先生は、「次々と出てくる1,2,3に仰天しました」と書いておられますが、こんなにすっきりとした行列が出てくるんですね〜! それのみならず、対称行列でもあるぞ。うーむ、何かありそうだ。

 で、こうして求められた「ある操作」を行列Aとして、これを縦ベクトル(0,1,1)にかければ縦ベクトル(3,4,5)が出てくるし、さらにこれを行列Aの右からかけると、縦ベクトル(20,21,29)が出てくるわけです。以下順々に、フェルマーの系列の3つの組が求められる、ということになってしまうのです。

 なお、直角をはさむ2辺の差が1のまま、どんどん大きくなるので、形としては直角二等辺三角形に近づいて いくというのも直感的にわかります。したがって、c÷bの値は√2の逐次近似となりますね。

(つづく)

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『フェルマー系列整数辺直角三角形及びハンドボールコート作成新方式の提案』(亀井喜久男)

 このブログではすっかりおなじみになった亀井喜久男先生から、またまた面白そうなレポートが届きましたので、ご紹介させていただきます。というか、内容についてはだいぶ前にうかがってはいたのですが、とある冊子に公開されてweb上でもそれが見られるようになったので、このブログでも紹介させていただくことにしたしだいです。その冊子とはこちら↓

啓林館 高校数学 教育情報誌 Focus Gold 通信 Vol.6
http://www.shinko-keirin.co.jp/keirinkan/ tea/kou/sugaku/focus_gold/pdf/vol006.pdf

 このなかに、亀井先生の『フェルマー系列整数辺直角三角形及びハンドボールコート作成新方式の提案』という授業実践記録が掲載されています。なお、ハンドボールコート作成方式については、すでにこのブログでご紹介させていただいています↓

  ハンドボールコート新作成法〔岐阜東高校方式〕

 というわけで、今回は「フェルマー系列整数辺直角三角形」なるもののご紹介です。整数辺直角三角形というのは、いわゆる3辺が3cm、4cm、5cmの直角三角形とか、5m、12m、13mの直角三角形のように、辺の長さが整数になる直角三角形のことで、つまりは a^2+b^2=c^2 を満たす3つの自然数の組(a,b,c)について考えるというのが今回のお題です。

 すでに例として出した「3:4:5」、「5:12:13」のあたりがいちばんメジャーでしょうか。私も、算数の問題を作るときにお世話になってます(たとえば道のりと距離の問題など)。で、こういう数値の組はいわゆるピタゴラス数ということになりますが、ピタゴラス数といってすぐに思い出すのは結城浩『数学ガール/フェルマーの最終定理』

 結城浩『数学ガール/フェルマーの最終定理』のピタゴラス数のところでは、原始ピタゴラス数(a^2+b^2=c^2を満たすa,b,cの組のうち、a、b、cの最大公約数が1になるようなもの)の一般形まで、そして原始ピタゴラス数は無数に存在するということを、いつものようにゆっくり丁寧にたどってあります。


〔原始ピタゴラス数の一般形〕

 (a, b, c) = (m^2 − n^2, 2mn, m^2 + n^2)

 ※m、nは互いに素
  m>nを満たす
  m、nの片方は偶数で、他方は奇数


 さて、亀井先生の授業実践記録です。なんでも、同じ原始ピタゴラス数でも「系列」のようなものがあるそうなのです。まず、直角をはさむ長いほうの辺と斜辺の長さの差が1である組、すなわち(3,4,5)や(5,12,13)のような組が「ピタゴラスの系列」。ちなみに「〜系列」という言い方は一般的ではないのかもしれません。参考文献は大矢真一『ピタゴラスの定理』(東海書房/1952、のち東海大学出版会)とのこと。

 また、直角をはさむひとつの辺と斜辺の差が2であるような組、すなわち(8,15,17)や(12,35,37)などが「プラトンの系列」、直角をはさむ2辺の長さの差が1であるような組、すなわち(3,4,5)や(20,21,29)などが「フェルマーの系列」なのだそうです。今回はこの「フェルマー系列」について考えていくことになります。

 とりあえず先に、ピタゴラスの系列とプラトンの系列の作り方を、例をあげて確認しておきます。


〔ピタゴラス系列〕

・3以上の奇数aを1つ用意 → 7
・aを2乗して1をひき、2でわってbとする
     → (7^2−1)÷2=24
・bに1をたしてcとする → 24+1=25

 (7,24,25)のできあがり

 証明は、a=2n+1とおいて、普通に文字式で計算したら確認できました。


〔プラトン系列〕

・4の倍数aを1つ用意 → 8
・aを2でわって2乗してa´とする → (8÷2)^2=16
・a´から1をひいてbとする → 15
・a´に1をたしてcとする → 17

 (8,15,17)のできあがり

 こちらも、a=4nとおいて文字式で計算したら確認できました。途中で出てくる式の雰囲気は、先ほど示した一般形に近いです。

 では、フェルマー系列はどうなるのか? と考えるときに、漸化式と行列が出てくるのです。

(つづく)

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