TETRA'S MATH

数学と数学教育

三角パックの「捩れた話」+爪楊枝の水戸芸術館タワー/高校の先生の数実研レポート

 昨年9月、北海道の高校の数学の先生からメールをいただいていました。テトラパック(牛乳の三角パック)についての問い合わせです。おおっ!この話ですね→Tetra's牛乳の三角パック

 私は正四面体型のものが好きで、テトラポッドほか消波ブロック一般と、(正四面体ではないけれど)牛乳の三角パックに興味をもっていました。前者は単に好きだっただけですが、後者はとあることがきっかけとなり、一時期かなりこだわってアレコレ調べていました。

 何にこだわっていたのかというと、牛乳の三角パックについての間違った考察が数学の本や展覧会で発表されており、どうしてもそれに納得がいかなかったのです。数学の理論の話ではないので、数学的に大きな問題ではなかったのですが、間違った認識をもとに「ほらね、身のまわりで数学ってこんなに役に立っているんだよ」と語るその安易な態度に強い違和感を覚えました。

 それは、ものを作る人に対しても、数学に対しても、失礼な話だと思う。

 とまあ、語り始めるとまた熱くなってしまうので、詳細は上記リンク先を観ていただくとして、高校の先生からのメールの話です。

 その先生は知人と話をするなかで、テトラパックは正四面体ではないということを知ったそうなのです。そのことを教えてくれた知人は“テトラパックは三角柱の中に隙間無く詰め込むことができるけど、正四面体はできないから「テトラパック≠正四面体」である”と説明されたのだとか。

 この「三角柱の中に隙間無く詰め込むことができる」という話が、私がこだわったことでした。実際に牛乳の三角パックは、クレートとよばれる六角柱に近い形の容器にうまいことおさめることができるのですが、数学の本や展覧会では、それをあるひとつの空間充填形(辺の比が2:√3:√3の四面体)に結びつけて考察していたのです。

 どう考えてもこの人たちは本物の三角パックを使って考察していない、ひょっとしたら見たこともないのでは?と思いました。頭の中だけで勝手にそう考えている、あるいはどこかで読みかじった文献をもとに考えているだけで、自分で検証をしていない、と。

 大学や公的な機関も関わっている大規模な展示だったので、多くの人が関わっていると思うのですが、どうしてひとりもおかしいと感じなかったのだろう、感じたとしてもそのまま展示しているのだろう、私ひとり空間感覚がおかしいのだろうか…と、不思議でしかたありませんでした。

 おっと、また熱くなってしまいました、高校の先生の話でした。で、その先生がいろいろ調べるなかで、私のサイトを見つけてくださって、メールをくださったわけなのです。先生の考察は数実研のレポートとして発表されています。↓

 数学のいずみ数実研レポート発表一覧>第81回〜>

   捩じれた話 室蘭東翔高校 長尾 良平

 水戸芸術館タワーも出てくるので「捩れた話」というタイトルになっていると思うのですが、例の牛乳の三角パックの「捩れた話」の意味も絡めてあると思うわけであり、感涙にむせびそうですワタクシ。サイトに書いておくと、いつかだれかが読んでくださるのだなぁ…!

 私が以前 2:√3:√3 の四面体を導き出したときには、中村義作著「自己拡大する四面体」(『数理パズル』所収、中央公論社、1976)を参考にして、立方体を切断したものを組み合わせる方法を使いましたが(最初から空間充填形として切り出す)、長尾さんのレポートでは、タワーにしたときに捩れが生じない展開図をもとにして考察されているのが楽しいです。あと、爪楊枝を使ったYogeometryでは辺(稜線)が強調されるのが面白いです。

 飲み物のみならず、四面体型の包装はいまでも地道に活躍を続けているように感じています。

 あと、四面体型包装といえば、パットラスをお忘れなく!! 先日、セブンイレブンの枝豆を初体験しました〜!

 

〔2018年3月16日:リンク整理につき記事の一部を修正しました〕

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アメリカの小学校の先生とやりとりしているメールのこと

 去年の夏、二重数直線について思うことのまとめ(2012年夏)・1/出会いと印象というエントリのなかで、二重数直線についての質問のメールをいただいた、と書きました。差出人はアメリカの小学校の先生。とてもきれいな日本語の文面にびっくりしたのですが、日本での教師経験がある方とわかり、納得。

 で、何がびっくりって、アメリカでも6年生の比の学習内容の中に二重数直線が出ているんですって! 日本では早い段階から二重数直線を駆使しており、私はそのことに疑問をもっていたのですが、アメリカの場合は逆に6年生でしか出てこないので、下地のない生徒は相当に苦しむのではないか・・・とのお話でした。

 質問の内容は、二重数直線を使って「小数のわり算」をどう考えればいいのか、ということでした。かけ算はだいじょうぶなのだけれど、わり算を二重数直線を使ってどう解いたらいいのかこんがらがってきました、と。私はこれまで、「なにこれ!?」と思うだけで二重数直線の“使い方”をちゃんと考えていなかったので、これを機会にようやく二重数直線そのものに取り組むことになり、「なるほど、わり算をどう考えればいいのかさっぱりわからないし、そもそもかけ算もよくわからない」という結論に達したしだい。>カテゴリー:二重数直線

 このことは、先日、娘の学校で見た分数のかけ算・わり算の授業のあの「問い」にも関わってきそうです。そういえばあのときも、二重数直線が使われていたような・・・。全国の小学生のみなさーん、今度先生から「1m^2に何をかけると2/3m^2になりますか?」ときかれたら、「魔法」と答えましょう〜d(^^)>かけ算・わり算の文章問題における「1」の存在感

 あのときは結局、二重数直線を使ったわり算の(自分で納得できる)説明を私は思いつかず、お役に立てなかったのですが、最近また、同じ方からメールをいただきました。今回は分数のかけ算・わり算について。

 で、前回はお名前を出すところまでいけなかったので、今回あらためて(ご本人の許可を得て)紹介させていただきますと、Claire Hallinan さんという方です。クレアさんのサイトはこちらです↓

  Think Aloud
  http://thinkaloud-mathlessonplans.blogspot.jp/

  (教えていただいたのは、次のページでした。)
  Think Aloud >Common Core and Differentiation

 私はクレアさんに、「アメリカの小学生は、小数よりも分数のほうが得意ですか?」という質問をしました。そうしたところ、「分数も小数も得意ではない、教師もわかっていない」という内容のお答えをいただきました。ただし、ものさしはインチを使うとき分数で読むことが多く、25セントを1/4ドルと呼んだりすることから、生活に分数が密着しており、分数が身近に感じられるという面はあるかもしれない、ともおっしゃっていました。

 分数について、もう少し考えていきたいと思います。


(つづく)

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1月15日夕方、岐阜テレビでハンドボールコート新作成法

 以前、ご紹介したハンドボールコート新作成法〔岐阜東高校方式〕がテレビの取材を受けたとのことで、きょうの夕方、放送されるようです。午後5時から5時30分のニュースと午後6時から6時15分のニュースの中ですこし出てくるもよう。一部の地域の方しか観られませんが(私も直接、放送は観られない〜)、ひとまずご案内まで!

 ちなみに動画のほうも、さらなる改訂版が出ております↓
http://www.youtube.com/watch?v=V5hMbGmnfYU
 
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【URL変更】>ハンドボール新作成法〔岐阜東高校方式〕の修正版

 ハンドボールコート新作成法〔岐阜東高校方式〕において、動画のリンク先を示しましたが、ラインの名称にまちがいがあったようで、修正版がップされております。

http://www.youtube.com/watch?v=qQlNddoChg8


 なお、正方形の位置はあそこでよいそうです
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教科書センターで気づいた、自分の時代遅れさ加減

 そうなると話は比例の定義・導入に集約されていく(2011年6月30日)のエントリで、

比と比例をひっくり返した学習順序というものがあるのであれば、見てみたい気がします。

と書きましたが、ある意味もうひっくり返っているのですね。

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いつかじっくり考えたい、初等数学教育における幾何学の意味

 昨年暮れに書いたエントリ「久しぶりに「かけ算の順序」問題を考える (3)/中距離(合同・相似の表記と、漢字のとめ・はね・はらい)」に関して、とても貴重なご意見をメールでいただきました、合同の表記を対応順の記号で書くことの妥当性についてのご意見です。
 
 関連したwebページを1つご紹介。
http://tenagusami-memo.blogspot.com/2010/10/
blog-post_9686.html


(なお、メールをくださった方は、上記サイトの開設者の方ではありません。参考サイトとして教えていただいたページの1つです。)

 このあたりちょっとつっつくと、中学数学の中にけっこう循環論法が入り込んでいるのではないか?という問題にたどりつきます。

 なんというのか、「かけ算の順序」もそうですが、学校教育って細かいことを要求するわりに、ちゃんと考えようとする人にとっては気持ちわるいところがありますよね、ときどき。

 それはそうとして。

 小学校や中学校で学ぶ「図形」の勉強って、もう少しなんとかならんものでしょうか。昔から思っていたことですが、その思いを娘の学習内容を見ながら強めるきょうこのごろ。

 「量」の問題や「割合」について考えることは、「考えなければ!」というよりは、楽しんでやっているところがあるのですが、こと「図形」に関しては、「なんとかしたほうがいいよなぁ……なんとかならんかなぁ……」という、ため息にもにた思いを抱いています。どうしたらいいのかの具体案はまったくありません。ただひたすら、「ほかに道がありそうなものなのに」と思うだけ。「図形」ってもっと楽しくて柔軟なものだと思うんだけどな。 初等数学教育ならではの「図形」の学習の、大胆な改革ができないものだろうか?

 ちなみに小4の娘は現在「直方体と立方体」を学んでいるのですが、この単元に「ものの位置の表し方」という項目が加わっています。いわゆる座標の勉強のようなもの。平面のみならず、空間もあります。そうかぁ、これを「直方体と立方体」に組み込むのかぁと思った私。いや、わるいことではないと思いますが。そしてこの次に、「ともなって変わる量」を学ぶことになります。

 かつて、数学の時代区分の境い目に、いつも幾何学があることというエントリの中で、数学教育協議会の分科会に行くならば、「図形」分野が面白い、という話を書きました(現在でもそうなのかどうかはわかりませんが)。なぜかというと、数量分野のように系統化されていないし、確固たる方法論が確立されていないので、ユニークなレポートに出会いやすい、ということらしいのです。他のジャンルは、「数学教育協議会の方法論のお勉強」的なものになる場合も少なくないと思うので。ただし、たとえば「内包量」というテーマでとても面白いレポートに出会えることもあるので、一概に言えないことではあります。。遠山啓にとって数学教育のなかの幾何学の位置づけってどういうものだったのだろう? 上記のリンク先の指摘を思うと、もう少し重視されてもいいように思うのですが。

 私はどうして図形の話が好きだったのかな。テトラも球形も黄金比も、学校教育とは全然関係ないところで出会ったのかな。(少しは数教協の影響もあったのかな?)

 

 

〔2018年4月9日〕記事の一部を削除・修正しました。

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「とれたての定理です 第5巻」から/後半

 少年少女数学愛好会「とれたての定理です 第5巻」後半のご紹介です!


6.鏡像によるヴァーチャル多面体(みやじ)

 みやじ先生による、5つの正多面体が見える万華鏡設計のレポートです。

 鏡の反射を利用して正多面体が見えるような万華鏡を作るためには、繰り返しのもと(実体)となる三角形と、それを映し出す三角錐が必要です。その三角形および三角錐の各サイズを計算して再現するということが、万華鏡を設計するということになるわけですが、みやじ先生はその前段階として正多面体の双対を扱っていらっしゃいます(ただし「双対」という言葉は使っていない)。

 その昔、自分のホームページで正多面体の双対について書いたことがあり、いまは外付けとなっているハードディスクの中から拾い出せるかどうかさがしてみたところ、きれいな画像ではないけれどありました。たとえば、正六面体と正八面体の双対関係については、「頂点と面を入れ替える」という発想で次のような図を示しました。





 なお、正六面体と正八面体が双対関係にあるように、正十二面体と正二十面体も双対関係にあります。正四面体は自己双対です。

 こんなふうに双対関係をながめていると、正多面体の対称性が見えてきます。鏡を使ってもとの立体を再現するということは、対称面をさがすことにほかならならず、3つの対称面で囲まれる最小単位を見つければ「繰り返しのもと」が発見できます(できるはず)。

 では、実際にどう計算すればいいのかということで、空間座標で表し、計算していくわけですが、ここで役に立つのが名刺3枚を組み立ててつくる正二十面体の“骨板”(勝手に命名)。名刺は黄金矩形の近似形として使えるので、3枚の名刺にうまく切り込みを入れて組み合わせると、頂点が正二十面体の頂点の形に配置されるのです。私も以前、『美の幾何学』(伏見康治、安野光雅、中村義作)を見て作った記憶があります。3枚目を入れるのがけっこうむずかしかったおぼえがあります。

 この3枚の名刺は互いに直交しているので座標系とみなせ、正二十面体の頂点を座標で表すときに、とても考えやすくなります。ということに気づいたのは、みやじ先生のレポートを読んでから! なるほど、それで黄金矩形の話から始まっているわけですね。名刺の短辺を1、長辺を Φ=(1+√5)/2 とおけば、0、1または−1、Φまたは−Φの組み合わせで、それぞれの頂点をとても簡単に座標で表すことができます。立方体や正八面体よりも、正十二面体や正二十面体のほうが扱いにくい印象があるけれど、そっかぁ、そういうことだったのかぁ、と納得。

 あとは、重心、線分の中点、2直線の交点として必要な点の座標を求めたあと、近似値を出して、いよいよ製作です。と口で言うのは簡単だけど、実際に作ると微妙な誤差で正多面体にならなかったりして、けっこうコツがいるのだろうなぁ〜と想像しています。たぶん、これって、実際につくってのぞいてみるのがいちばんでしょうね! 何しろもともとがヴァーチャル立体なので!


7.正多面体フレーム内の石鹸膜(ゆっき・えりか)

 正多面体の対称性がつくる世界に、今度は石鹸膜という実体の物理現象(!?)からせまります。

 最初は、黒田俊郎先生の「砂が教える幾何学」の話から始まります。伝えきいたところ、黒田先生もお元気そうで、何よりでございます。

 さて、砂が教える内心では、三角形の板の上に砂をふりかけることで、3つの角の2等分線が稜線として浮かび上がりました。同じようなことを3次元で考えられないか?というのが、石鹸膜の実験です。ちなみに、「ボロノイ」という言葉にも触れられています。

 そして、ZomToolで各正多面体の枠を作り、しゃぼん玉液に浸して石鹸膜を貼り、観察していきます。基本的には、最初に予想したとおりに各辺から等距離になるよう面ができたようですが、中に空気が入っていないときと入ったときの違いや、立体が安定してできる場合とそうでない場合などの様子が綴られていて面白いです。また、枠の大きさにも左右されるようです。

  

 この石鹸膜の話も、いろいろな方向に研究を進められそうなテーマですね!(数学的には難しくなっていくことでしょうが)。ゆっきさん、えりかさんも「引き続き調べていきたいと思いました」と書かれているし、興味をもった後輩たちが、また“その先”に誘ってくれるとうれしいなぁ〜と思いました。物理・化学・生物、それから最短距離の問題とか工学とか、たぶん、いろいろ関わってくるのだろうと想像しています。


8.複素整数(しおり・あやの)

 実は、「とれたて5」ができるだいぶ前に、みやじ先生から、今年の理数科課題研究ではこんなことやったんだよ〜というお話をきいており、そのなかに「複素整数」という文字を見つけて「なんだそれは!?」と過敏に反応してしまったのでした。

 複素整数というのは、2−3i や −1+5i のように、(整数)+(整数)i という形で表される複素数のことですが、「複素」のあとに「整数」という言葉が続くと、なんだか不思議です。整数と虚数単位iで構成された複素数と考えることもできるけれど、整数の世界を複素数まで広げたと考えると---(整数)+0×i と考えれば、ふつうの整数になるわけだし---何が見えてくるのか?…というわけで、高木貞治『初等整数論講義』を手ががりに複素整数の考察が進められていきます。

 複素整数の和・差・積はどうなるのか? 倍数・約数はどうなるのか? 剰余の関係は?

 さらに、複素平面を使って、複素整数の倍数の分布を調べていきます。

  

 最後には、「複素整数の素数」の分布もあるんですよ!

 そんなふうにして、複素数を通して整数の世界を捉えていくというのがとても面白いと思いました。

 できあがったものを見るだけの私は、「複素平面に表していく作業は楽しかったろうな〜!」なんて呑気な感想をもってしまったのですが、実際には、手書きで1枚1枚方眼紙に点をとり、何度も失敗して、大変だったようです。「先の見えない研究だった」とのこと。なるほど〜〜


9.2次元有界閉曲面の分類(だいすけ・なおこ・やすえ・ゆりえ・ひろみ)

 いやぁ、これすごいわ…

 高校でこれだけのことができるのだと感嘆しております。

 最初は根上生也著『トポロジカル宇宙 ポアンカレ予想解決への道 完全版』(日本評論社/2007)を読み、内容についてメンバーで議論するところから始まったそうです。そして、粘土でどこまで実現できるのか、球面、トーラス、射影平面、クラインの壺に挑戦。

 その結果を、岩手大学教育学部数学教室の公開講座において、高校生の数学研究という形で発表。また、群についての小宮山晴夫先生の講義を聞く機会もあったようです。

 さらに、群についてメンバーで議論しながら理解を深め、いくつかの曲面についてホモトピー群を求めた上で、L.Christine Kinsey著『Topology of Surfaces(Undergraduate Texts in Mathematics)』のなかの、2次元有界曲面の分類定理とその証明に取り組んだのだそうです。

  

 そして、この研究の最終目標は、自分たちが学んだことを、他の生徒がわかるような「紙芝居」に表すこと。これがとってもほのぼのとした、いい出来上がりになっているんですよ〜(^^) ときどき出てくるメンバーの似顔絵キャラや人形が、いいアクセントになってますぅ。なお、CDにはパワーポイントでつくった紙芝居が収録されています。

 テーマのレベルの高さもさることながら、グループでコミュニケーションをしながら研究を進めていったこと、大学との交流・連携があったこと、自分たちが学んだことを他の生徒にわかりやすく伝えようとする作業など、いろいろな面で興味深い実践記録になっています。


10.立方体から正多面体を切り出す(まちこ・まさこ)

 思えばこのブログ「TETRA'S MATH」は多面体木工の話題から始まったんですよね。あれから約3年かぁ〜

 多面体状のものを立体で表現するときは、厚紙工作や折り紙などの面構成か、棒を使った稜線構成の場合が多いのではないかと思います。また、中身のつまった状態のものを作るときでも、液体から個体になるような材質のものであれば、型取りをして材料を流し込む方法で作ることができるのだろうと想像しています。

 しかし木工の場合、「塊からいらないところを切り落とす」という方法で多面体を浮かびあがらせなければなりません。なりませんというか、そこが面白いところであり。なので、面構成や稜線構成の場合とは違って、立体的な角度を作り出すための計算が必要になってきます。また、途中のプロセスで出てくるのもそれぞれに立体であり、「立体を立体として作っていく」という感じがして、そこが魅力なのだと思います。

 中川宏さんの場合は木を使いましたが、まちこさんとまさこさんは、発泡スチロールと専用カッターを使って「正多面体の切り出し」に挑戦しました。2人それぞれの計算と方法で。「とれたての定理です 第5巻」には、レポートのほか、研究日誌や対談も綴られています。研究日誌には手書きのノートの写しあり。対談は脱線具合も含めてリアル。声が聞こえてきそう。

 

 それにしても、「とれたて」に関わる高校生たちは、プレゼンの力も身についていくでしょうね〜!

 というわけで、「とれたての定理です 第5巻」のご紹介をさせていただきました。興味のある方はとれたての定理です 第5巻のページからみやじ先生にアクセスしてみてくださ〜い!


〔2018年3月29日〕
 複数に分けてかいていた記事をひとつにまとめ、整理しました。

 

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「とれたての定理です 第5巻」から/前半

 少年少女数学愛好会「とれたての定理です 第5巻」から、まずは前半のご紹介です!


1.おいらの定理(ちなつ)

 ちなつさんは第4巻で、「多面体上でまるを描く」というレポートを発表されており、今回はその発展形です。まずは、多角形の内角の和・外角の和から始まり、凸型多面体の「頂点のまわりの角度」(※)―― レポートでは「1つの頂点をぐるりと回ったときの方向の変化の総和」というような表現になっています ―― の考察を経て、立方体を組み合わせてできる立体(階段型・ドーナツ型・穴2個・穴3個・穴n個、……)の考察へと進みます。

 そして、オイラーの多面体定理の証明を経て、いよいよ「おいらの定理」です。「おいらの定理」とは、「おいらの数」を“不足分の角度の総和”(※)と定義した上で、次のような式で表される関係のことです。

  「おいらの数」=360°×(オイラー数)

 立方体の結合による頂点と頂点の共有、辺と辺の共有(1辺、2辺、3辺、……)、面と面の共有(1面、2面、3面、……)によってオイラー数と「おいらの数」がどう変化するかを順を追って調べたあと、「おいらの定理」の証明に入ります。

 そして、最後は粘土で作った曲面のある立体を示し、図形の連続的な変形についてのオイラー数の不変性とおいらの定理の予想(今後の課題)で締めくくってあるのでした。

 うわー、お手本のようなきれいな構成のレポートだー。

 第4巻の巻末エッセイでは、ちなつさんの「これまで」が綴られていました。小・中学校では数学が天敵で、将来の夢も「バフッとした部分」しかつかめずにいたこと。高校生になったばかりの頃、日々の復習プリントと“かなり個性的な”M先生に驚いたこと。2年生で「不思議で仕方がなかったこと」が、数学Cを学んだときに発見があり、証明が仕上がっていく喜びを知ったこと。3年生で数学が日常に深く入りこんでいく高揚感、生まれてはじめて自分から数学を学んだ感触を味わったこと……。1年、2年、3年と少しずつ数学との関わりを深め、自分の世界を広げていったちなつさんの1つの節目の結晶が、この「おいらの定理」のレポートだったのだなぁ〜と思うと、読んでいるこちらも感慨深いです。

 なお、※の「頂点のまわりの角度」というのは、たとえば正四面体の頂点をぐるりと1周すると、正三角形の1つの角を3つ分進むことになるので、「頂点のまわりの角度」は 60°×3=180°となります。平面では1周が360°なので、不足分が 360°−180°=180° というわけです。


2.音階のお話し(あや)

 あやさんは、ピアノ調律師になるために勉強されているそうです(おお!)。そんなあやさんの音律のレポートときけば、これは読みたくなりますよね!

 まずは鍵盤の仕組みとオクターブの話から始まり、全音と半音、音程、完全4度や長3度などの説明と続きます。そしていよいよ「音程比」です。ピタゴラスのモノコードの話から始まりますが、これ、実験しながら読むと面白いでしょうねぇ!

  

 1本の弦の駒をつけない状態の音を「ド」としたとき、それを1/2、1/3、1/4、……にしていくと音はどう変わっていくかを確認したあと、それぞれの音程に対する比が表にまとめられてあります。

 たとえば最初のドの長さを1とすると、1/2で1オクターブ高いド'、1/4でさらに1オクターブ高いド''、1/8でさらに1オクターブ高いド'''になります。また、1/3でソ'、1/5でミ'になります。これを波の数(振動数)で考えると、

  ド−1   ド'−2  ド''−4  ド'''−8 
  ソ'−3   ソ''−6   ミ'−5   ミ''−10
  シ'♭−7  レ''−9

となります。いかにも「倍音」という感じがしますね(と私は理解しているのですが)。

 では「ラ」と「シ」はどうなるんだ?ということで、「ミ」と「シ」は完全5度だから音程比が2:3になってほしい、「ソ」と「シ」は長3度だから音程比は4:5になってほしいというふうに、計算していきます。こんなふうに倍音関係を基にして、協和音になるように音階を決めていったものが「自然長音階」(または「純正律音階」)なのだそうです。

 そしてこのあとはピタゴラス音階の話に入り、最後で平均律です。平均律というのは、簡単に言うと、どの音から始まる音階(ドレミファソラシド)も、相対的な音程比がすべて同じになっているような音律のことで、なぜそういうことをするのか、平均律によってどんないいことがあるのか、ということが記されています。そっかぁ、そういうことだったんだぁ!

 ギリシャの音楽論は論理学や思想との関わりが深いし、モノコードの波波をみているとフーリエ級数のことも気になってくるし、この先、いろいろな方向に発展できそうな研究テーマですね〜!


3.何でも測定し隊!―― いずみちゃんとじろう君の三角比への旅 in Summer ――(あやか)

 マンガ仕立ての「三角比」のレポートです。シンプルな線画でテンポがよくて軽快ですごく読みやすい。

 途中で「比の値」が出てきます。これを先生役が出してくるとつまらないし、生徒役が自分で見出すとしらじらしくなるところ。で、どう展開させているかというと、見た目ごくフツーの猫でありながら実はスーパーキャットである「まぐろ」ちゃんが変換してくれるのです。スーパーキャットのマイナーチェンジがなんだか可笑しい。でも、このマイナーチェンジにこそ、「比の値」の本質があらわれているのかもしれません。みやじ先生の授業のポリシーが生徒たちの中に根付いているということか!?

(小学校の中の「比の値」について考え始めると、これまた大仕事というか根深いものがありそうなので、今回は割愛することにして)

 「何でも測定し隊!」はCDにも入っており、パソコンの画面で見ると1コマずつ映し出されるので、大きくて迫力あります。猫の「まぐろ」がじ〜んとしている背景の正五角形は、もしかしてスクリーントーンじゃなくて自家製?などと細かいところに目がいったりして。

 なお、本誌では、マンガのあとで、実際に「カクシリ器」を使って生徒さんたちが「釜石大観音」を測っている様子の写真が掲載されています。

 こういう地道で具体的な作業も怠らないんだなぁ〜。


4.遠近法で絵を描こう(かなえ)

 美術部のかなえさんの、絵本仕立ての遠近法レポートです。CDではカラーのスライドーショーが観られます。本誌のモノトーンも味わい深いですが、やはり大きな画面でカラーで見るときれいだし、とてもわかりやすいです。

 前回のマンガは軽快でしたが、こちらはゆったりと静かな気持ちで読めるファンタジーの世界。絵はファンタジーですが、ストーリーはとても日常的で、いますぐに子どもと実験(実行)できそうな内容になっています。

 かなえさんの絵本には、透明なスクリーンを使う「デューラーの仕掛け」も出てきます。これを見ると、やはり思い出すのは橋爪大三郎『はじめての構造主義』(p160)。中世から近代への転機、「視る主体」の誕生の話。構造主義はヒルベルトの形式主義の運動の中で育まれたわけですが、形式主義の重要な源泉のひとつが射影幾何学であり、射影幾何学の源泉にあたるのが遠近法であった、という系譜が書かれてあります。遠近法をヒントに生まれた射影幾何学ではあるけれど、そこで視点(主体)の差異が無視されることにより、対象の<構造>が浮かびあがるという流れになっています。

 この「遠近法」も、ここからいろいろな方向に進めそう(歴史をもどるもよし、進むもよし、美術方向もよし、数学方向もよし)な研究テーマですね〜!


5.鏡像によるヴァーチャル立体(たかし・よしひろ・まさひろ・いっぺい・しょうご)」

 万華鏡では、三角柱内部の鏡の反射を利用して、わずかな小片で平面の繰り返し模様をつくりますが、同じ原理を利用して、錐体内部の鏡の反射で、わずかな実体をもとに立体図形を作ろうというのが、この「鏡像によるヴァーチャル立体」です。鏡の反射を利用するので、対称性が関わってきます。

 まずは線対称な図形。対称軸に鏡を置くと、対称軸の片側の図形とその鏡映をあわせることにより、もとの図形が再現されます。次は、正多角形。こちらは2枚の鏡を利用します。

 では正多面体は……?ということで、研究は進んでいきます。ZomeToolで作った立体もあわせて示されています。

 このレポートを読んでいて、楽しいなぁ〜と思うのは、予想や観察や発見の経過がよくわかるところ。

 鏡2枚で正多角形ができたのだから、空間の場合はきっと3枚の鏡を使うのだろうと予想した。そしてある日、線を引いた鏡を3枚組み合わせたときに偶然、正八面体が見えた。なぜ正八面体が見えたのか考えた。また、ZomeToolで作った正八面体を観察していたら、あることに気づいた。

 さらに、研究の過程で遊んでいるときに偶然サッカーボール型の立体ができた。これは切頂二十面体である。正多面体の1つの面を反射させることで正多面体ができたのだから、頂点を切り落とした紙を入れれば切頂多面体ができるのではないか……

 というふうにして考察は進んでいくのでした。

 切頂多面体までいくことになるとは、メンバーとしても予想外のことだったようです。時間があったら他の準正多面体の考察へと進んでいたのでしょう。また、最後の感想で、「研究で出会った図形・立体はどれも美しく、かつ、途中で出てくる計算は無理数のオンパレードであった。無理数こそが美を支えていると実感した。」と書かれてあるのも面白かったです。先生への謝辞も添えて、きれいにまとめてあるなぁ!

 これまでのレポートとは違って、ひとりではなくグループによる研究発表ですが、とてもよくまとまっています。どうやって進めていったんだろう?

 どのレポートを読んでも思うのですが、研究する力のみならず、それをまとめて表現する力も感じられて、感心するというよりうらやましいです。

(つづく)


〔2018年3月29日〕
 複数に分けて書いていた記事をひとつにまとめ、整理しました。
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祝!完成「とれたての定理です 第5巻」

 少年少女数学愛好会「とれたての定理です 第5巻」がきのう届きました!

  

 わおーっ! 262ページの超力作、初の付録CD付で内容も充実していて、とても完成度の高い豪華な仕上がりとなっておりまーす!!

 「とれたての定理です」は高校生の数学研究レポート集です。指導されているのは「みやじさん」こと宮本次郎先生。私がみやじ先生と出会ったのは1996年頃。はや13年のおつきあいになるんですねぇ!

 今回の“とれたて”は、第4巻から8年目の発行、第1巻から約20年たつようです。全巻持っている果報者の私。しかも、第1巻は2冊しか残っていなかったうちの貴重な1冊をみやじ先生に分けていただいたのですぅ。 

  

 前回までは生徒さんの本名が載っていましたが、今回は名前(ファーストネーム)のみの記載になっています。個人情報に配慮してのことと思われますが、私はこのファーストネームでのレポートというポップさが、なんだか気に入っています(いかにも「少年少女数学愛好会」という感じがして)。軽快で新鮮。軽快ですが、内容は濃いです。

 第5巻のテーマは次の通り。


1. おいらの定理
   (ちなつ)

2. 音階のお話し
   (あや)

3. 何でも測定し隊!
   (あやか)

4. 遠近法で絵を描こう
   (かなえ)

5. 鏡像によるヴァーチャル立体
   (たかし・よしひろ・まさひろ・いっぺい・しょうご)

6. 鏡像によるヴァーチャル正多面体
   (みやじ)

7. 多面体フレーム内の石鹸膜
   (ゆっき・えりか)

8. 複素整数
   (しおり・あやの)

9. 2次元有界閉局面の分類
   (だいすけ・なおこ・やすえ・ゆりえ・ひろみ)

10. 立方体から正多面体を切り出す
   (まちこ・まさこ)

11.研究日誌(立方体から正多面体を切り出す)
   (まちこ・まさこ)

12.「立方体から正多面体を切り出す」をめぐる対談


 初期のころに比べると「手書き」のウェイトは低くなり、CDも付いていて、“作り込んでいる”(完成度があがっている)印象はありますが、素朴さや手作り感、親近感は失われておらず、むしろ高校生たちはさらに自由になってきているような気がします。また、テーマや表現方法にも個性が出ています。肩肘張って、力んで数学しているわけではない。ほどよい遊び心やおちゃめさを忘れずに、地に足つけて落ち着いて、「ふつー」に数学を楽しんでいる様子が伝わってきて、読んでいるこちらも心がほぐれてきます。(実際は大変なこともあったのかもしれないけれど!)

 ちょっとだけ中をのぞいてみましょうか!

(つづく)

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塩野直道という人

 いま、松宮哲夫『伝説の算数教科書<緑表紙> ―― 塩野直道の考えたこと ―― 』(岩波科学ライブラリー/2007年)を読みながら、塩野直道という人のことについて考えています。いやぁ、この人すごい。遠山啓とは別の意味ですごい。

 塩野直道は、画期的と言われた第4期国定教科書(通称:緑表紙)の編集責任者です。啓林館から復刻版が出ていることは知っていたのに、「なんで啓林館から?」と呑気なことを思っていた私。そっかぁ、塩野直道は啓林館の取締役だったんだなぁ。(緑表紙のあと)
 
 筆者の松宮哲夫さんは緑表紙で学んだ世代であり、後に啓林館教科書の執筆者になっているので、多少のバイアスはかかっているのかもしれませんが、がぜん啓林館に興味がわいてきました。黒表紙から緑表紙への経緯はもちろんのこと、系統学習に向かうまでの流れも塩野直道抜きでは語れない気がしてきました。数教協と啓林館の間にある(と個人的に感じている)確執は、塩野直道と遠山啓の仲の悪さからきているものなのだろうか? なんとなくわかる気がしてきたなぁ。性格(負けず嫌い、理想が高い、使命感に燃えている)が似ていて、生き方・やり方がまったく違っていたのではなかろうか?←あくまでも推測

 なんといっても塩野直道はもともと文部省図書監修官で、教科書の編修や審査をする立場にいた人。また、専門は物理学だったので(東京帝国大学のときの専攻は実験物理学、指導教官は寺田寅彦だったんですって!)、小学算術書の仕事を始めたばかりのころは「自分は素人だ」という感覚があったようです。しかし現状を知り、文献を読み、多くの人の意見をきくうちに、黒表紙は改訂したほうがいいと思うにいたったらしく、そんな塩野直道を算数・数学教育の改革に目覚めさせたいちばんのきっかけが、小倉金之助の講演記録だったようです。

 なお、塩野直道は、緑表紙編纂を始める際の意見聴取のメンバーに小倉金之助の名前も入れていたそうですが、文部省からみれば「階級社会の算術」「階級社会の数学」という論文を発表している小倉金之助は危険思想の持ち主だったので、名簿からはずされたんだとか。(っていうか、メンバーに入れたのは純粋な希望? わかったうえでの挑戦?)

 さて、教科書に関わり始めたばかりの塩野直道は“補助”の立場であり、黒表紙を編纂した人が上司で、おまけに藤沢利喜太郎は貴族院議員で健在という状況だったので、手始めは軽くジョブで様子見するくらいだったようです(上申書提出)。でも、上司をとびこして局長に出しているんだから、ジョブところじゃないか。結果的にこれが次の動きにつながっているのだし・・・。そんなこんなで、だんだんと自分なりの数学教育観をもつようになり、自信と信念を身につけた塩野直道は、緑表紙の編纂を始める頃には(辞表を懐に)小学校令施行規則の算術要旨の改正を局長に認めさせるまでにいたったとのことです。

 緑表紙編纂のあと戦後はどういう流れをたどったかというと、

1945年
金沢高等師範学校長に就任

1946年 
3月 第一次米国教育使節団来日に際し日本側委員に就任
12月 教職追放、金沢高師では教職員・学生がそれぞれ追放反対の声明を出し留任運動を展開

1947年
7月 金沢学師学校長を退官
12月 超国家主義者という理由で公職追放

1951年
教職追放解除

1952年
公職追放解除、新興出版社啓林館取締役就任


 となると、戦後の啓林館の教科書が気になってきます。以前も書いたように、現在の算数・中学数学の教科書において啓林館は独自路線を貫いていると感じているのですが、戦後の啓林館の教科書にも塩野直道の思想が生きていて、かつ、メタメタさん>差集め算と面積図についての歴史的薀蓄にあるように啓林館が量の立場に立っていないのだとしたら、それがどういうことなのかをもっと知りたいです。

 いま、おぼろげながら感じていることは、立場の違いもさることながら、塩野直道がもともと物理専門だったことと、遠山啓が数学者だったことの違いが、お互いの主張の違いを生んだのかな……ということです。そして、塩野直道は文部省の中で仕事として教科書の編修に関わり始め、結果として体制の内側から(?)算数教育・数学教育を変えていった人なので、ある意味動機が純粋というか、内的欲求が強かったのかもしれないなぁと思いました。黒表紙を作った上司や藤沢利喜太郎や文部省関係者にたてつくことが目的ではなかったでしょうから。でも、純粋でいて、かつ、したたかという気もします。危ない橋を渡りつつも、川には落ちない。保身に走ることはしないが、下手もふまない。流れに大きく逆らって自滅することなく、流れに与しない。やり手だなぁ。(勝手な妄想含む)

 塩野直道も遠山啓も、小倉金之助から多大な影響を受けたのでしょうが、その影響の受け方が違ったのかもしれません。ちなみに、小倉金之助1885年生まれ、塩野直道1898年生まれ、遠山啓1909年生まれなので、それぞれ10才あまり年齢がはなれているようです。

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