TETRA'S MATH

数学と数学教育

素数指数表現と約数構造図

 亀井図式を見ながら、いくつかの素数を1つずつかけあわせてできる自然数と、そうではない自然数との違いを考えていたら、結城浩『数学ガール/フェルマーの最終定理』の「第3章 互いに素」に出てくる「素数指数表現」のことを思い出しました。

 「素数指数表現」というのは、自然数を素因数分解して、素因数の指数に注目し、その指数だけを並べて表記する方法です。

(例)


 この表記方法でいくと、210は



となり、素数を2、3、5、7の4種に限れば、<1,1,1,1>と表していいことになります。ついでに、かっことコンマをはずして1111としてもいいことにします。同じ方法で210の約数を表現すると、4ケタの1と0の組み合わせで表せるので、4次元のハッセ図の要素につけた記号と一致します。



 このハッセ図は、もともとは要素が4つの集合{a,b,c,d}のベキ集合の順序関係を表したもので、各要素が含まれることを1、含まれないことを0と表しているので、自然数の整除関係を素数指数表現で表したときと同じになるのが(あたりまえだけど)面白いです。

 直観主義論理のハッセ図においても、素数指数表現を取り入れると、次のようになります。



 古典論理に付け加えた青い部分の1ケタめに「2」が現れて、特徴がよりはっきりします。

 亀井先生の「999999」の約数構造図も、素数指数表現で表すと、その構造がさらによく見えると思いました。素数を3、7、11、13、37の5種に限って、

 00000から始まって、01111で終わる4次元の図
 10000から始まって、11111で終わる4次元の図
 20000から始まって、21111で終わる4次元の図
 30000から始まって、31111で終わる4次元の図

が平行線でつながっています(きのう「平行移動」と書いてしまいましたが、2次元の図としては平行移動だけれど、考え方としては「垂直に」移動したものになります)。数値が5桁なので5次元の図なのですが、左端の数値をそれぞれ0、1、2、3で固定しており、5次元の中にある4次元の図と考えるとわかりやすいかな、と思いました。
  
 一方、6次元の図は、00000から始まって11111で終わる5次元の図(立方体4つ分)を2つかいて、下方の図には末尾に0をつけ、上方の図には末尾に1をつけて、000000から始まって111111で終わる図を作ったつもりです。↓



 1と0しか使ってはいけない世界では、数字がnケタのときn次元の立方体になるわけですが、亀井先生は数字を5桁に固定して、そのかわり、うち1ケタを2でも3でもOKということにして、5次元の“直方体”を表現されたのだと思います。

 なお、『数学ガール/フェルマーの最終定理』では、「互いに素」であるということはどういうことかを考えるために素数指数表現を取り入れており、「ベクトルで表現したときに直交する」というところに帰着します。亀井先生の約数構造図でも「互いに素」→「直交」は保たれているのでした。
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平方剰余の相互法則

 平方剰余の相互法則とは

   qが奇素数のとき
   

というものらしいです。pとqがお互いに相手の法になったときの関係という意味での「相互法則」なのかな?

 はじめてこの式を見たときには、見た目がシンプルなのにちんぷんかんぷんでした。「なにを言っているの?」という感じで…。でも、ルジャンドル記号()の意味がわかったら、なんとなくわかってきました。すなわち、pとqが決まれば右辺が決まるので、(p/q)と(q/p)の関係も決まるということですよね。右辺が1ならば、左辺はともに1かともに−1のどちらかだし、右辺が−1にならば、左辺のうちのどちらかが1、もう一方が−1ということになる。なお、この法則ってとても重要なものらしいです。

 さて、フィボナッチ数列を奇素数pでわったときの循環節は、p≡1、9(mod 10)のときとp≡3、7(mod 10)のときで場合分けできる()理由が知りたくてここまできました。

 なぜこのような場合分けになるかというと、p≡1、9(mod 10)のときはx^2=5となるようなxが存在し、p≡3、7(mod 10)のときはx^2=5となるようなxが存在しないからなのですが、つまりは(5/p)が1となるときと−1となるときの場合分けを考えればいいのだな、と認識しました。

 いまは奇素数pを法とする場合で、q=5として考えているので、相互法則にそのまま代入すると、



となります。右辺に注目すると



となり、pは奇数なのでp−1は偶数、つまりいつでも右辺は1になりそうです。ということは、左辺の(5/p)が1になるのは(p/5)が1になるときで、(5/p)が−1になるのは(p/5)が−1になるときなんだな。

 法5についての原始根()の累乗を調べてみると、



原始根の偶数乗は1と4、原始根の奇数乗は2と3になっています。したがって、

  p≡1、4(mod 5)のとき、(p/5)=1
  p≡2、3(mod 5)のとき、(p/5)=−1

ということがいえそうです。これは、

  p≡±1(mod 5)のとき、(p/5)=1
  P≡±2(mod 5)のとき、(p/5)=−1

と書き換えてもよさそう。ここでとめてもいいけれど、さらに書き換えてみます。

  p=5a±1のとき、(p/5)=1
  p=5b±2のとき、(p/5)=−1   (a、bは整数)

 pは奇数なので、aは偶数、bは奇数。よって、a=2α、b=2β+1(α、βは整数)を代入してみると

  p=5(2α)±1=10α±1≡1、9(mod 10)

  p=5(2β+1)±2=10β+5±2≡3、7(mod 10)

 最後はちょっとこじつけっぽいですが、これでどうだろうか?
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「オイラーの規準」の証明につっこみたくなる

 原始根から有限体の√5を考えていたとき()、ある原始根の偶数乗が5となっていれば、その法における√5が存在するのではないか?ということがわかってきました。

  たとえば、法11においては、
  原始根の1つが2であり、
  2^4≡5と表せるので、
  4が偶数であることから、
  法11における√5が存在する。
   →5は法11に関して平方剰余

  一方、法7においては、
  原始根の1つが3であり、
  3^5≡5と表せるので、
  5が奇数であることから、
  法7における√5は存在しない。
   →5は法7に関して平方非剰余

 そして、ルジャンドル記号()では平方剰余であることを1、平方非剰余であることを−1と表すのだから、原始根についている指数kが偶数なら1、奇数なら−1となることを (−1)^k の形で表せそうです。

pを奇素数、rを法pに関する原始根とする.


 なんて便利なんでしょう〜〜


 便利なのはいいのですけれど・・・


 この事実を使ったとある証明(by岩波講座現代数学への入門「数論入門1」)に私はちょっと驚いてしまいました。なんの証明かというと、オイラーの規準と呼ばれる命題の証明です。

     〔オイラーの規準〕
      pを奇素数とするとき
     (mod p)

っていうか、証明の前にこの命題ですでにびっくりなんですけど! 左辺はついこの間知ったルジャンドル記号。aとpが互いに素なら1か−1。そして右辺はいわば各元の累乗のまんなかへんの値()。きのう確かに1か−1になっていることを確認して、それなりに感動したところ。右辺が1か−1になるはずだから、=で結ばれるのは納得しよう。ええ、納得しますとも。でも、なんでそんなことがいえてしまうのだ!?

 そして、aとpが素である場合の証明の式変形はこんな感じです。↓

 

 後半は計算してあるだけだからいいとしても、−1のところにポコンと緑の部分を入れてしまっても、そんなことをしてしまっても、いいのでしょうか!? 確かにきのうこれも確認してそれなりに感動はしました()。感動はしたけれど、だからといって、こんなことをしてもいいのでしょうかぁぁ

 ってことは・・・・・・




 なるほど〜〜 うーむ、なるほど〜〜〜 ウーム・・・
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原始根の累乗は2度揃う

 原始根を調べていたとき()、数字の並びが左右対称になっているペアがあるのだなぁ、これにはどういう意味があるのかなぁ、ということは気になっていたのですが、それよりもなにもりももっと大きな一目瞭然の特徴があることをすっかり見落としていました。



 原始根って、いちばん最後の1だけではなく、途中(水色部分)でいったん数字が揃うのですね〜! 法pにおける、(p−1)/2乗部分で、みんな p−1 になっています。あるいはそのまま「−1」と考えてもいいのかもしれない。

 原始根rは(p−1)乗ではじめて1になるわけですが、(p−1)/2 乗は、その√をとるようなものなので、1か−1になってほしい、でも1にはなれないので、−1。ゆえに−1と結論づけるのはまだ納得がいかないけれど、少なくとも辻褄はあうなぁ〜とそれなりの感動があります。

 考えてみれば、原始根でなくても、(p−1)乗で1になるのだから、(p−1)/2 乗では1か−1になっているはず。たとえば法13の場合だと、こんな感じです。↓



 そうなってないとおかしいのだけれど、なっていればなっていたでなんか不思議だー。

 この、「1か−1になる」「1になる」「−1になる」ということが、平方剰余と関わってくるというのがとても面白いです。
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ルジャンドル記号ってなんだ?

 「平方剰余の相互法則」のことを知りたくて、いつものごとく検索を続けていました。だいたいどこでも同じような書き方がしてあるのですが、どうにもよくわからない。

 何がわからないかというと、最初のほうで「ルジャンドル記号」というのが出てくるのですが、分数のようなものをかっこでくくってイコール +1 または −1 と書いてあるこの表記のどこがどう“記号”なのかがわからなかったのです。

 インターネットだけで勉強をするのは無理そうだという感触を得、テキスト(図書館で借りた「岩波講座 現代数学への入門 数論入門1」)を読むことにしました。

 そしたらあっという間にわかりました。

 要は、平方剰余のときは1と書き、平方非剰余のときは−1と書くのですね。そういうふうに1と−1の場合を別々に日本語で書いてくれればすぐにわかるのにな・・・(^^;

 たとえば、法11で2乗して5となる数をさがしていたとき()、4、7という答えが見つかりました(4^2≡5、7^2≡5 mod 11)。つまり、n^2≡5(mod 11)となる整数nが存在するので、こんなとき、5は法11に関して平方剰余であるといい、記号で

     

と書くらしいのです。

 また、法7においては、2乗して5となる数を見つけることができませんでした。なので、5は法7に対して平方非剰余であるといい、記号で

     

と書くらしいのです。

 一般的な形でまとめると、次のようになります。

 n^2≡a(mod p)となる整数nが存在するとき、aは法pに関して平方剰余であるといい、記号で

     

と表す。また、平方剰余でないとき、aは法pに関して平方非剰余であるといい、記号で

     

と表す。この記号が「ルジャンドル記号」(または平方剰余記号)というものらしいのです。平方剰余と平方非剰余の区別だけなら何も数字をあてはめなくても○と×でいいやん、と思うわけですが、先を読み進めるにつけだんだんとその便利さがわかってきました。
 
 たとえば、1、−1に加え、aとpが互いに素でないとき(aがpの倍数となるとき)

     

と定義すると、次の命題が成り立ちます。

 pを奇素数とするとき、整数aについて合同式

     

の解の個数をNとすると、

     

 なるほど、平方剰余の場合はN=1+1=2(個)、平方非剰余の場合はN=1−1=0(個)、aがpの倍数となるときはN=1+0=1(個)となるわけですね〜〜(aがpの倍数となるときは X≡0 の1個)
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小数文化圏

 これまで数論方面にはまったく興味がなくて、『フェルマーの最終定理』の本を手にするなんて数ヶ月まで考えられない私だったのに、どうして最近、数論や初等代数学に興味をもつようになったかというと、『やわらか頭「江戸脳」をつくる和算ドリル』という本がきっかけでした。(この本の前に、「剰余グラフ」をベースとして。)

 著者のおふたりとは知り合いです。10年ほど前に、Niftyの「塾と予備校の教育情報フォーラム」で出会いました。和算に特に興味があるわけではなかったし、タイトルと表紙からして普段であればまず手にしない本なのですが、このおふたりが書いていて面白くないはずがないという確信があったので、買いました。で、やっぱり面白かったです。

 特に面白かったのが、「分数文化圏と小数文化圏」の話、2進法を利用した文字当てパズルの「目付桜」、そしてグラフで解く「油分け算」です。前者2つは数の話であり、「油分け算」は1次不定方程式の面白さにつながっていきます(ということに気づいたのは、油分け算についてあれこれ考えたあとであり、本では1次不定方程式には触れられていません)。へぇ、自分はこういうジャンルに興味があったのか、と新鮮な驚きがありましたが、「目付桜」は絵だし、「油分け算」はグラフで解いてあったから面白かったし、結局のところビジュアルなものを介在させないと興味がもてない体質に変わりはないようです。

 「分数文化圏と小数文化圏」の話については、参考文献として巻末で森毅著『数の現象学』があげられていたので、こちらも少しずつ読んでいます。

 『やわらか頭「江戸脳」をつくる和算ドリル』では、エジプト、ギリシャ、ローマ、ヨーロッパを「分数文化圏」と呼ぶとしたら、バビロニア、インド、イスラム(アラビア)、中国、日本は「小数文化圏」であり、特に日本の場合、江戸時代には「割合」としての分数しかなかった(足したり引いたりする「独立した数」としての分数はなかった)ので、日本こそが「完全な小数文化圏の国」である、と書いてありました。江戸時代の計算は算盤が主だったので、分数の計算が算盤になじまなかったことも理由のひとつだろうとのこと。なるほど。

 考えてみれば、那由多、不可思議、無量大数など大きいほうのみならず、チリ(塵:ジン)だのホコリ(埃:アイ)だの刹那だの、小さいほうもけっこうな位までいちいち名前がついているのはなんだかスゴイです。そもそも「塵劫記」も、「塵、劫、記」なわけで。中国、日本が小数文化圏であったという話もしっくりきます。

 この、分数文化圏・小数文化圏---半端な数を分数で表すか、小数で表すか---の違い、長きにわたって培われてきた数の感覚、文化というのは、根強いものがあるのではないかと思ったりなんかもするのです。発生したか、浸透したか、発展したか、の土壌の問題もあるし。すごくへんな話なんだけれど、私は日本が「完全な小数文化圏」であると読んだとき、どういうわけだかほっとしました。ほっとしたというか、やっぱりそうか、というか。たぶん、分数ということばから有理数という言葉を連想して、理性という言葉を連想して、日本の根っこに理性はない、という妄想につながって、なんだかほっとしたのでしょう。なんでここでほっとするのか自分でもよくわからないままに。しかも、自分の名前に「理」という文字が入っているのに。
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