TETRA'S MATH

数学と数学教育

「遠山啓著作集・数学論1」より、関数の三用法で第1用法が2段階になっていること

 久しぶりの更新です。

 思うところあって、少し前から遠山啓著作集のページをめくっています。実家から引き取ってきたもので、何冊か欠番はあるものの、数学論シリーズ6冊、教育論シリーズ4冊、数学教育論13冊とそれなりにそろった状態で保管していました。

 もうひとつ別の数教協関係のシリーズものもあり、読まないままスペースだけとっていて、どうしたものかと思っていました。もちろん、遠山啓著作集のほうはピンポイントで読んできましたし、しばらく手放す予定はないのですが、それにしても読まない部分のなんと多いこと。

 というわけで、いまさらながら、まずは遠山啓著作集をぱらぱらとめくっています。いま、数学論、教育論とすすんで、数学教育論の途中までざっとめくってみたところです。

 数学論の大きな話の部分はさすがに既視感があり、具体的な数学の話は、何かの機会に必要に応じて読みたいと感じる内容でした。また、教育論のほうは、読む前から予感はしてものの、やはりページをめくってみても読み込みたいという気力がわいてこず…。

 そんななか、ただひとつ目がとまったのが、数学論1「数学の展望台―I中学・高校数学入門」の後半にある「関数の性質」です。初出は1965年の『数学教室』。なぜ目がとまったかというと、「関数の三用法」が出てくるから。いわゆる「度の三用法」や「率の三用法」ではなく、x、y、f で構成されているのがいまさらのように新鮮だったのです。なので、この点について、ブログに書いてみることにしました。

 数教協の量の理論には「度」や「率」というものが出てきます。速さや密度のように、違う種類の量どうしのわり算でつくられる量が「度」。これに対して含有率などのように同種類の量の除法によって得られる量が「率」と呼ばれています。

 そして、度や率の三用法なるものがあり、速度と含有率のそれぞれを示すと、次のようになります。

第1用法:長さ÷時間=速度
第2用法:速度×時間=長さ
第3用法:長さ÷速度=時間

第1用法:含有量÷全体の量=含有率
第2用法:全体の量×含有率=含有量
第3用法:含有量÷含有率=全体の量

 これが関数の三用法になるとどうなるかというと、遠山啓はまず、正比例 y=ax の x、y、a を使って、度の三用法を次のように示します。

第1用法 ――― x,yが既知で,aが未知の場合
第2用法 ――― a,xが既知で,yが未知の場合
第3用法 ――― a,yが既知で,xが未知の場合

 これを一般化して y=f(x)に当てはめると、

第1用法 ――― x と y から f を求める。
第2用法 ――― f と x から y を求める。
第3用法 ――― f と y から x を求める。

となります。いわば「関数の三用法」とでもよばれるものができるわけですが、この分類は関数の指導体系をつくる上でかなり有効であろうと思われる…というようなことを遠山啓は書いています。

 さらに先を読むにつれ、私がなぜこの一節に立ち止まったのか解せました。第4用法という言葉が出てくるから。明確にそう示されているわけではなく、第1用法ではなく第4用法とよんだほうが適切かもしれない、という流れで。

 そして実際、この文章の組み立ては、「関数の三用法」「第1用法」「第2用法」「第3用法」「むずかしい第1用法」「関数の複合過程」となっているのです。「第3用法」では逆関数や代数方程式、運動方程式の話、「むずかしい第1用法」ではラグランジュの補間法、テーラー展開の話などが出てきます。

 注目したいのは「第1用法」のところで示されている次の話です。度や率の三用法では、第1用法は内包量の概念づくりに相当するもので、これをはじめにもってくるのは当然だけれども、関数では第1用法はそれほど簡単ではない、ある意味ではもっともむずかしくて、最後にもってくるようがよいともいえる…という話。

 むずかしい部分は第2用法、第3用法の後にくるので、第4用法というわけです。
第1用法のうちで関数の概念づくりに当たる部分は,f という操作・写像・変換等のコトバで表わされるものが存在することを理解させることに主力がおかれる。
(p.212)

 そしておなじみ、暗箱(black box)が出てきます。

 ブラック・ボックスというのは、f という文字のついた箱状のものに入口と出口がある簡単な装置のことで、図示されたもののほか、実際に箱として作ったリアルな教材もあります。

 私はかつて、数教協の「量の理論」が未完に終わっていることにこだわっていて、特に、小学校の「量」の学習の組み立てと、中学校へつながる比例の導入との間に大きな断絶があるところが気になっていたのですが、上記の記述には、それについて考えるためのひとつのヒントがあるかもしれないと感じました。

 そしてこのことは、銀林先生の『量の世界・構造主義的分析』のなかで、なかなか理解できずにいた二段階の内包量のことにもつながる話だと思います。

 正比例関数を介さず、直接的に構成される内包量

 先の引用部分に「 f という操作・写像・変換等のコトバで表されるもの」が「存在」すること、という文言があります。「量の理論」で出てくるブラック・ボックスという装置は、まさにこの「存在」を具現化し、存在たらしめるものであったのだろうとあらためて感じているのですが、私がひっかかっているのは「内包量」との段差なのでした。

 さらに以上のことは、かつてnoteで書いた以下の話にも関わってきそうです。

 「微分的」とはどういうことか(番外編)/私の問題意識

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7年越しの「時間の正体」についての小さな訂正とブログ近況

 少し前に、7年越しの「時間の正体」というエントリを書きました。そのなかで、第3章の結論――郡司さんが解説するところのマルコポーロさんの結論――はあっけないものだったという話を出しましたが、「これを言うためにそんなに大がかりなことをしなくてはいけなかったの!?」と思ったのは私です。郡司さんがそう書いているような印象を与えかねない文章になってしまっていましたので、現在は書き方を変えております。大変失礼いたしました。(実は、訂正をしたのもだいぶ前です)

 更新が途絶えておりますが、軽い気持ちで親子ブログに変更を加えたら、けっこうめんどうなことになってしまい、ようやくもとの状態に近い形にもどせたところです。この機会にデザインは変えました。デザインはいいとしても、エントリ番号とカテゴリー番号が変わることになってしまい、各所でリンク切れになってしまっていることと思います(自分のブログ内・ブログ間でもけっこうリンクしているので)。

こどものちかく、親子でちょっとトーク、そして高校生。
http://kodomo.artet.net/

 いっそのこと TETRA’S MATH だけ残して生活ブログと親子ブログを閉鎖することも考えたのですが、もとに近い形にもどせたので、しばらくはこのまま設置しておき、全体的に整理しながら今後のことを考えていきたいと思っています。
郡司ぺギオ-幸夫『時間の正体 デジャブ・因果論・量子論』 | permalink

集合の圏や半順序圏での、積と巾

 前回、表面だけなぞってみた圏の積と巾について、もう一歩ふみこんで考えることにします。ひきつづき、メインの参考文献は清水義夫『圏論による論理学 高階論理とトポス』ですが、その他のテキストやWebページも参考にさせていただいています。

 まずは積について。

 Set(集合の圏)の場合、積は積集合 product set に相当するとのこと。記号で示すと{<x,y>|x∈Aかつy∈B}だそう。直積集合に思えるのですが、同じものと考えていいのでしょうか。direct はついていないのですが。

 それ以外に積集合って何かあるだろうか?と調べてみると、そういえばありました。いわゆる交わり、meetです。小倉久和・高濱徹行共著『情報の論理数学入門 ブール代数から述語論理まで』では、p.8で積集合(product,intersection)という用語が A∩B={x|x∈A∧x∈B}という表記とともに出てきます。

 期せずして話が次につながりました。というのも、Po(半順序圏)の積は、半順序集合における{A,B}の下限A∧Bに相当するらしいのです。なるほど、次のように考えると個人的にはわかりやすいのですが、それでいいのでしょうか。

 たとえば整数の整除関係において、6から12と18に矢が出せるけれども、3からも2からも1からも出せる。そして、3、2、1はそれぞれ6に矢を出すこともできる。だけど、12と18に矢を出せるもので、6から矢を出せる整数は(6以外には)ない。だから、12と18の「積」は6。そう考えていいのなら、積の「一番えらい」というイメージがとてもしっくりきます。>

 ただし、この場合、「一意に決まる」をどう考えればいいのかはよくわかりません。

 次に、巾について。

 Setの場合、B^Aは、AからBへの写像の一つ一つを要素とする集合とのこと。つまり、{f|f:A→B}である、と。最初は何事かと驚きました。Setでは集合が対象で、集合間の写像が射のはずなのに、写像を集めた対象があるってどういうことよ?と。

 しかしその後あれこれ調べていくうち、配置集合なる概念を知ることができました。Aの上のBの配置集合というのは、集合Aから集合Bへの写像をすべてあつめた集合のことらしく、しかもB^Aという記号が使われることがあるようなのです。

 そして、Aの元の個数がm、Bの元の個数がnだったら、AからBへの取りうる写像の数はn^mという記述を発見。
http://www.ne.jp/asahi/search-center/internationalrelation/mathWeb/Sets/Mapping2.htm

 A={ア,イ,ウ,エ,オ}、B={1,2,3}だとしたら、アの写し方が1、2、3の3通り、そのそれぞれについてイの写し方も3通り、同様にウ、エ、オの写し方も3通りずつなので、全体では3×3×3×3×3=3^5(通り) なるほどたしかに。

 そうなると、冪という言い方や指数のような表記ががぜんしっくり思えてきます(なお、「巾」と「冪」は同じものだと現段階では理解しており、メインの参考文献にあわせておもに「巾」という漢字を使っています)。結局、圏における冪は、集合論のなかの配置集合に相当する概念なのでしょうか。ただ、いわゆるベキ集合(部分集合全体の集合)と若干紛らわしい気がしないでもなく。

 ということがわかった時点で巾の定義の図をもう一度見ると、何か見え方が変わるでしょうか。

   

 圏の積を集合の直積と同じように考えていいのだとしたら、B^A×Aは「AからBへの写像」と「Aの元」の対になるので、そこからBに矢印が出るというのはなんかわかる気がします。Cについては以下のページを参考にさせていただきながら考え中です。
http://tnomura9.exblog.jp/20587411/

 では、Poの場合の巾はどうなるかというと、結論だけ示せば、B^A は「AのBに対する相対擬補元」というものになるらしいのです。記号は「A⊃B」。「⊃」って‟ならば”じゃないの?…と思ったら、森田真生さんの『哲学者のための圏論入門』で冪を「A⇒B」と表記しているところがあるのを発見↓(p.28)
http://choreographlife.jp/pdf/intro.pdf

 この相対擬補元、あるいは擬補元という用語、検索しても、思ったほど基本事項を示したページがひっかかってきません。なので、いまだ自分にとってしっくりくるページを見つけられずにいます。清水さんの本では「…は,AのBに対する擬補元(i.e. 相対擬補元 relative pseudo complement)と呼ばれる要素A⊃Bが,…」という書き方がしてあって、最初は擬補元と相対擬補元は同じものだと思ってたのです。

 しかし、もしかすると0に対する相対擬補元のことを擬補元と呼び、それ以外はAのBに対する相対的な擬補元ということで相対擬補元と呼ぶのかもしれません。前者は確かに"擬"補元という感じがします。以下のぺージなどを参考にさせていただいています。
http://www.info.human.nagoya-u.ac.jp/
lab/phil/kukita/others/Heyting_algebra.pdf
http://mathneko.hatenablog.com/entry/2016/04/12/015447 http://lis.mslis.jp/pdf/LIS033071.pdf

 『圏論による論理学』では、C∧A≦B ⇔ C≦A⊃B(←「≦」の「=」は一本線の表記)をみたすものとして定義されることがある、という書き方がしてあります。

 再び整除関係で考えてみます。60の約数において、A=6、B=10として、A⊃Bを求めます。そのために、C∧AがBの約数になるようなCをさがします。大きいほうからさがしたほうが能率的ですが、あえて小さいほうからさがしていきます。

 C=1のとき、1∧6=1で、1は10の約数なのでOK
 C=2のとき、2∧6=2で、2は10の約数なのでOK
 C=3のとき、3∧6=3で、3は10の約数ではないので該当せず
 C=4のとき、4∧6=2で、OK
 C=5のとき、5∧6=1で、OK
  ・
  ・
  ・

 このように調べていくと、Cにあてはまる60の約数は、1、2、4、5、10、20の6個となりました。最大の数は20なので、A⊃Bは20。こんなふうに考えていいのでしょうか?? この場合、他のCが20の約数になっていてくれるとうれしいというか、そうならないと困るのですが、実際、そうなっています。

 なんか素っ頓狂なことをやってるんじゃないかという不安でいっぱいですが、せっかくなので、これを巾の図にあてはめてみることにします。というか、これがやりたくて具体例をさがしてました。

   

 こんな理解でいいのか不安でいっぱいですし、こんなことを公開していいのかさらに不安が募りますが、このエントリひとつ書くにもえらく時間がかかっており、頭がこんがらがってきているので、逆に公開してみます。そうすることで気づくこともあるかもしれないし。

 というわけで、勘違いに気づいたときにはそのとき訂正することにして、ひとまずプロセスのひとつとして書きとめておくことにしました。あくまでも私はいまこんなふうに格闘していますということで…
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表面をなぞってみる圏の積と巾

 最初に、前回のエントリの補足です。リンク先:数学はメンタルな「行為」だと主張した人:ブラウワーにおいて、「ブラウワーのある種の"世間の感覚"」について書いたのは、私が本の記述から捉えたことなので、その旨追記しました。また、ラッセルのパラドクスが出されたのは正確には何年なのかいまもってわからないので、だいたいそのあたりということで「?」をつけておきました。それから、ダメットの本を手にしたきっかけは、構成主義や直観主義をもう少し知りたいというのが直接の動機だったようです。>「構成主義」という言葉の多義性



 相対擬補元って、実は思っていたより大事っぽい気がしてきました(自分にとって)。そしてたぶん、そんなに難しい話ではなさそう。なのになんだかよくわからないのです。とりあえず積と巾にもう少し慣れておくことにします。

 ちなみに「巾」は、やっぱり「冪」と書いてもいいのではないか、むしろそう書いたほうがいいのではないか…と思えてきています。が、いまはメインの参考文献が清水義夫『圏論による論理学』なので、そちらにあわせて当分の間は「巾」と書きます。

 わからないといえばこの巾の意味がさっぱりつかめません。定義は読めばわかるし、その後に続く話も字面を追えばわからないことはないのですが、なんのためにこれがあるのかその意味がわからない。意味がわからないので、定義もなんだか不自然に感じられます。そして、なぜ巾というのかもわかりません。

 わからないことだらけですが、とにもかくにも図を描いてみます。そうするちに何かつかめることを期待して。

 なお、以降の画像で「本p.○より」としているのは、清水義夫『圏論による論理学』に載っていた図を自分で描き起こしたものです。場合によっては本文の説明を加えています。その他のものについては「自分の理解」と示しています。

 まず、「積」のおさらいをば。>『圏論の歩き方』いきなり第17章/可換図式の「筆順」

  

 ちなみにhは〈f,g〉と表されるようです。

 次に、「矢(射)の積」について。

  

 上図の右に、

 (i.e. f×g=fπ1,gπ2〉)

と書かれてあります。「i.e.」という書き方を私はこの本で知ったと思うのですが、たぶん、「すなわち」「言い換えれば…」みたいなことなんだろうと認識しています。は合成の記号のつもりです。ちょっと大きいけど。

 図の中にπ1とπ2が2つ出てきていていいんだろうか…?という素朴な疑問がわきますが、ひとまずおいといて「巾」に進みます。は白抜き、B^Aは小さなAがBの右肩につく表記、[g]はgの上に^がついたような記号を表しています(細かいことを言えばgのフォントもちがいます)。なお、斜体は省略しています。

定義(巾)===============================

 において下記の(1),(2)が成立するとき,は「巾」(exponentiation)をもつ,と呼ばれる.
 (1) の任意の二つの対象には,その積が存在する.
 (2) の任意の対象A,Bについて,次の条件[#]をみたす対象B^Aと矢ev:B^A×A→Bが存在する.
 条件[#]:任意の対象Cと矢g:C×A→Bについて,下図を可換とする矢[g]:C→B^Aが一意的に存在する(i.e. ev([g]×idA)=gをみたす[g]が一意的に存在する.

=======================================

 下図というのはこんな感じの図です↓

  

 矢evは「値づけ」(evaluation)と呼ばれ、[g]はgの「転置」(transpose)と呼ばれるそうです.

 上の図に射の積の定義を加えた図を描くと、次のようになります。
 

  

 ということは、合体するとこういうことなのでしょうか↓ 

  

 ところで、積と巾には次のような定理が成り立つらしいのです。本文をもとに自分で図に説明を加えてあります。

  

 なるほど、それでgと[g]が出てきているのですか。定義でいきなり[g]が出てきたときには何事かと思いました。証明をとばして先に進むと、この定理の関係は、さらに次のようにも表わされるとのこと。

  

 ふむふむ。そしてこのあと、半順序集合の圏と相対擬補元の話が出てくるのでした。
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7年越しの「時間の正体」

 郡司ペギオ幸夫『時間の正体 デジャブ・因果論・量子論』をはじめて手にしたのはいつだったのか確認したら、2010年でした。時の過ぎるのはなんとはやいこと…というよくある言い回しも、この本を手にしているときには口にするのを一瞬ためらいます。

 いまあらためてページをめくってみると、郡司さんが何をしようとしているのか、そのおおまかな骨子がようやく見えてきたと感じます。見えてしまえばやるべきことはシンプルでした。そのシンプルなことがとても難しい。

 まず難しいのは第3章、マルコポーロさんの議論の理解です。マルコポーロといっても13世紀に旅をしたあのマルコポーロではなく、現代の物理学者、おそらくこのマルコポーロさんです。↓

 The internal description of a causal set:
 What the universe looks like from the inside

 http://xxx.lanl.gov/pdf/gr-qc/9811053v2

 『時間の正体』第3章の組み立ては、次のようになっています。

 3−1.マルコポーロとマクタガート
 3−2.因果集合と因果的歴史
 3−3.時間を評価するジ―ブ
 3−4.因果的歴史の時間モデル
 3−5.因果的歴史モデルとしての束
 3−6.排中律の破れ

 いまとなっては、この組み立てを見ただけで、何かわかったような気になります。

 第3章の結論は、私の目からみるとあっけないものでした(郡司さんも「突飛な結論でもあるまい」と書かれています)。これを言うためにそんなに大がかりなことをしなくてはいけなかったの!?と感じた私。その大がかりさがけして不快ではないとはいえ。

 マルコポーロさんが出した結論(郡司さんの解釈経由、私の理解)とは、「過去でも未来でもない時間というものが、内的限定観測者にとっては実在する」というものです。上記3−6のタイトルでそのいわんとすることのおおまかなイメージがつかめるのではないでしょうか…と、いまなら言えます。

 郡司さんはこの本で圏論を前面に出していませんが(用語をそのまま使っていない)、マルコポーロさんは実際に圏論を使っていると私は認識しています。たとえば subobject classifier を思わせる図なども示されています。

 また、郡司さんが最初に{内側,外側}というモデルをつくったのは、マルコポーロさんの論文での{1,0}にあたるもので、これは最初に話をわかりやすくするためにブール代数を採用したのだろうと理解しています。

 それが『時間の正体』第3章では途中からジーブなるものにかわり、このジ―ブがなんなのかかつて悶々としました。そして sieve なることばに行きつきました。いまだ定義はわからぬまま。

 どうやらこの sieve という言葉には「ふるい」という意味があるようで、実は遠山啓の著作集にも出てきます↓
http://math.artet.net/?eid=1421615

 一方、それはそれとして、「やっぱり随伴関係を少し勉強しておいたほうがいいのかな…」と思うにいたり、清水義夫『圏論による論理学』でヒーヒー言いながら勉強するうち、それを具体的に感じるために、これまでスルーしていた「巾」とその1つの定理の理解が必要になり、それをまたヒーヒー言いながら勉強しようとしていたら、相対擬補元なる概念に遭遇したのです。

 補元については、『時間の正体』を読んでいたこともあり、テーマのひとつとえいばひとつになっていたものの、そこに相対と擬がつくのはどういうことなんだ…? と本をはなれて検索してみると、どうやら直観主義のハイティング代数関連の概念らしいと判明。

 もちろん、直観主義はマルコポーロさんの議論と直結している話なので、別に不思議もなんでもないことだし、相対と擬がつくことから検索前に気づいてよさそうなものなのに、気がつかなかったのです。そして気づいてしまうと、自分のなかで「ははーん、そういうことね」という声がきこえました。

 結局私は、大きな旅はしていないようです。近所の半径15mくらいの散策を続けているみたい。だから、てくてく歩いていくだけ。だけど、指先1僂寮こΔ鬚里召ために虫めがねが必要なこともあるし、それより小さい世界は顕微鏡がないと見えない。そのツールをときどきちょっと変えているだけなんだなぁと、このたび思いました。

 そういえば久しぶりに、金子洋之『ダメットにたどりつくまで』もひっぱりだしてきていました。下記のエントリを書いたのも2010年。郡司さんの本にダメットの名が出てきているところがあったので、その関係で手にしたのでしょうか。

 数学はメンタルな「行為」だと主張した人:ブラウワー
 http://math.artet.net/?eid=1402034

 半径15mを散策するのに、一生かかりそうです。
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で、トポスって結局なに?

 圏論に興味をもちはじめて少したった頃から、つかずはなれず気になっていたトポスという言葉。自分がそれを理解できる日がくるようには思えなくて、理解しようともしてきませんでしたが、トポスについても谷村さんはわかりやすく道案内してくれます。>「物理学者のための圏論入門」()のp.7

 トポス(topos)とは数理論理学の一分野で、圏論の発展版のような理論であること。おおざっぱにいえば、圏のモノ射f:a→bを「aならばbである」という論理関係のように解釈できる体系であること。トポスでは真理値概念をかなり柔軟に拡張し、YesとNoの2択ではなく、ある種のグレーゾーンを設けること。

 という話を読んだときに頭に浮かんだのが、サブオブジェクト・クラシファイアーだったのでした。実際、トポスの定義には subobject classifier Ω が存在するという条件が入っていますし、清水義夫さんの本でも、トポスに入るためにまずこれを定義するという話の流れになっています。

 では、さっそくというかとりあえずというか、トポスの定義をのぞいてみることにします。清水義夫『圏論による論理学 高階論理とトポス』で2通り示されているうち、定義1のほうをみていきます。なお、Eという記号(ほんとは白抜き)はエレメンタリ―・トポスからきているようです。

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定義1(トポス)

 圏Eが下記の条件(1)〜(4)をみたしているとき,圏Eは「トポス」(topos)と呼ばれる.
(1) Eには,終対象1が存在する.
(2) Eには,Eの任意の二つの対象A,Bについて、その積A×Bが存在する.
(3) Eには,Eの任意の二つの対象,A,Bについて、その巾B^Aが存在する。
(4) Eには,subobject classifier Ω が存在する。

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 (3)のB^AはAが指数のようにBの右肩につく表記です。英語では exponentiation だそう。つまりは「冪」と同じで「べき」と呼んでいいのでしょうか? でも、「べき」じゃ変換してくれないのよね…

 「巾」の定義には任意の二つの対象の積の存在が含まれているので、上記定義1の(3)は(2)を前提にしないといえないことなのでしょう。また、前回みたように、subobject classifier は終対象1の存在あってのことなので、(4)は(1)がないと言えないことかと思います。

 定義2に目を移してみると、(1)、(3)、(4)は同じですが、(2)は、任意の対象からなるA→C←Bについて、そのp.b.が存在すること、となっています。終対象1の存在とp.b.の存在から積の存在がいえるようなので、そうなると定義1と同じになる…ということなんだろうと理解しています。

 定義1のほうでいえば、終対象1と積と subobject classifier の存在から equalizer の存在がいえて、積と equalizer の存在からp.b.の存在がいえる、という具合です。

 で、定義1の(1)〜(4)から、始対象、直和、pushout も存在する、というわけです。

 と書いたけれど、なんのことやら。

 とにかくトポスにはいろいろな基礎概念が存在しているらしいのです。

 それはそうとして、定義1の(1)〜(3)までの条件を満たす圏は、とくに「デカルト閉圏」と呼ばれるとのこと。cartesian closed category で通常CCCと略記されるそうなんですが、これっていわゆるカルテシアン閉圏と同じものなのでしょうか?

 いわゆるといってもカルテシアン閉圏がなんであるかは私は知りません(結果的にいま知りかけているわけですが)。知らないけれどよく出てくるので名前は覚えてしまったという。そして興味はどこに向かうかというと、もし同じものだとしたら、なぜデカルト閉圏がカルテシアン閉圏とよばれるのか、ということ。

 さっそく検索をかけると、こちらのページを見つけました↓

 JAAA自動化推進協会>自動化こぼれ話(134)カルテシアン  http://www.jidoka.net/serv/kaishi/jaaa-kaish-kobore-134.html

 おー、なるほどー! そのカルテシアンとこのカルテシアンが同じカルテシアンなのかどうかはわかりませんが、とにかくひとつ勉強になりました。

 さて。

 トポスの定義はわかりました。ソラらで言えといわれれば言えそうです。しかし、その意味するところはあいかわらずまったくわかりません。いったいこの概念で具体的に何ができるのでしょうか。私はこの概念から何か恩恵を受けることができるのでしょうか。

 ということについてはいまだわからずにいるし、これからもとうぶんわからないような気がしますが、これまで理解しようともしなかった『圏論による論理学』の<結び>が、その内容はわからないままに、少し読めるようになってきました。

 <結び>は、関数型高階論理やトポスが「普遍論理」(と仮に呼ばれている論理)の有力候補であることをテーマとして書かれてあります。普遍論理の条件として、汎用性、汎通性、自然性があげられており、トポスとこれらの条件の関係について述べられていくのです。

 そのうち私が気になっているのが「自然性」です。先ほどみたように、トポスは、積、巾、終対象1、subobject classifier Ω の4つから始まるわけですが、この4つが私たちの知性の基本的な性格にどのように対応しているのかについて語られています。

 今回はこれ以上詳しくみていくことはしませんが、<結びの結び>において、ライプニッツの夢でもあった普遍数学に触れられていることが、あらためて印象に残りました。
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サブオブジェクト・クラシファイアーの筆順、私の場合。

 突然、話がとびますが、次はサブオブジェクト・クラシファイアーです。何かの技の名前のようなこの概念に、過去、果敢に取り組もうとしたことがありました↓


 圏論:subobject classifier
 http://math.artet.net/?eid=1365964

 subobject classifierとブール代数と「sieve」
 http://math.artet.net/?eid=1366096


 自分のことながら涙ぐましいです。で、『圏論の歩き方』「第17章 圏論のつまづき方」に、可換図式の「筆順」の話が載っていることを以前書きました↓


 『圏論の歩き方』いきなり第17章/可換図式の「筆順」
 http://math.artet.net/?eid=1422209


 あのときは直積についてだけみましたが、その他の例のなかにトポスの subobject classifier の定義も含まれていました。参考文献はあげられているものの、実際の筆順については示されておらず。

 というわけで、自分ならどう書くか考えてみることにします。自分ならどう書くか…なので、これが正しい書き順というわけではないですし、いまだに正しい書き順は知りません。記号は清水義夫さんの本に載っているものを使うことにして、図を描きながら定義を確認していきます。

 まず、圏C(白抜き文字にできないので太字で)に終対象1が存在するという前提があるので…

   

 これから語ろうとしているもの(条件を満たせば subobject classifier と呼ばれるもの)は、射T:1→Ωを伴った対象Ωなので…

   

 条件は任意のmono f:A >―→ B についてのことなので…

   

 1は終対象であることからAから1への一意的な射!A:A―→1があり…(※)

   

 全体がプルバックになるような χf:B ―→Ω が一意的に存在するという条件が満たされるとき…(fはχの下付き)

   

 Ωは圏Cの subobject classifier と呼ばれる。(「Ωは…」としていいのかどうかまだよくわかっていません)

 と、並べてはみたものの、実際に描くときには全体の長方形を頭に思い描いて、漢字を書くときのように上から下、左から右に描いたほうが、形が整いやすくて描きやすい気が私はしました。(ちなみに上の画像は、描いたあと順々に消していってつくりました)

 定義は本を確認しながら書いていますが、言葉遣いは我流です。特に(※)については私の理解で書いています。へんなところに気づいたらそのつど訂正させていただきます。
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「a」を翻訳するとえらいことになる

 清水義夫『圏論による論理学 高階論理とトポス』のなかの、略式モンターギュ文法による自然言語の断片の形式化のところを読んでいます。ちなみに検索するとモンタギュー文法と出てきます。こちらの言い方のほうが近いのかな?

 前回は John でしたが、次は a fish です。"a fish walks." !

 構文解析は図で示されていて、いまとなってはこれがとてもわかりやすいのですが、とりあえず言葉で表現すると、

  fish に a が作用して a fish になり
  walk(s) に a fish が作用して a fish walk(s) になる

という具合です。

 普通名詞 fish は fish´et で いいのですが、限定詞 a(または any、some)はえらいことになります。こんな感じです↓

     λxet.λyet.∃ze(xet(ze)∧yet(ze))

 ブログのエディタ画面ではもっとえらいことになってます。aがよくここまで増殖したことだと思うことであります…って、そういう話じゃないけど。

 ちなみに限定詞 all(または every)の場合、上記の「∃」が「∀」に、「∧」が「⊃」になります。こういう論理記号についてはもちろんのこと、これより前の部分に説明があるのですが、そのあたりは割愛して結果的に a fish walk(s) がどう翻訳されるかを示すと、次のようになります。

  (λyet.∃ze(fish´et(ze)∧yet(ze)))walk´et

 これが論理規則によって ∃ze(fish´et(ze)∧walk´et(ze)) と整理されます…って、今回は整理された感じがあまりしませんが。

 そしていよいよ、

  John believes that a fish walks.

です。何がいよいよかというと、こういう「――であること」、つまり that 節はどう表現されるのかという意味でのいよいよです。結果だけ示すとこんな感じです↓

 (λxet.xet(je))(believe´t<et>(∃ze(fish´et(ze)∧walk´et(ze))))

 もはや完全に宇宙語です。これがλ-h.o.l.の論理規則とカリー化なるものによって、変形されていきます。

 見た目には記号の羅列で宇宙語だけれど、自然言語の断片がこんなふうにして形式化できるというのはありがたいことなんじゃないか…と、ほんのり感じます。

 で、段階的に考えてきたことをひとつにまとめて、図1.4と図1.5を合体させると次のようになるのだろうと私は理解しています。



 なお、be動詞を含む例文の翻訳も示されています。

 勘違い等に気づいたときには、そのつど訂正させていただきます。

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「ジョンは歩く」が (λxet.xet(je))walk’et に翻訳される世界

 いま手にしているテキストは、清水義夫『圏論による論理学 高階論理とトポス』です。自然言語の断片が略式モンターギュ文法で形式化される様子についてみていこうとしています。なお、斜体指定にしたほうがよいと思われるところがたくさんあるのですが、ここでは省略させていただいております。

 "John walks."を構文解析すると、自動詞 walk(s)に固有名 John が作用したことによって生成される文だとみなされること、John と walk にそれぞれ λ-h.o.l.の項を対応させると、John のほうは関数になることについて前回みていきました。実際にはこんな感じです↓

    自動詞 walk → walk´et
    固有名 John → λxet.xet(je

 自動詞 walk に対応している walk´et は、同じ walk という字母だけど、あくまでも λ-h.o.l.の記号なんだよということで ´がつけられています。ちなみに本では walk のフォントも変えてあるようです。小さい et は et タイプというものを示しているようです。

 タイプとは何かというと、内容的には「高階論理にかかわる意味世界の各領域の指標」とのこと。e タイプは個体 entity を要素とする個体領域の指標 e で、t タイプは真理値 truth value を要素とする真理値領域の指標 t です。

 タイプの定義から、α、βが各々タイプであるとき、<α、β>はタイプとなり、これはαβと略記してよいという省略法があるので、et は<e,t>の略記なのだと思います。

 <e,t>タイプの項についてはp.21に補足があり、これは一階の述語論理での述語に相当するものらしいです。 たとえば「人間」という述語は、個体を要素とする集合の部分集合{x|xは人間である}(=Hとする)に対応しているけれど、一方で真、偽を要素とする集合が存在する場合、この部分集合Hには、x∈H のとき h(x)=真、そうじゃないとき(記号が出せないので言葉で…)h(x)=偽であるような関数hであり、つまりは<e,t>タイプの項だ、と。walk には一階の述語論理のいわゆる述語が対応するから、et タイプということになるらしいです。

 次に John ですが、何しろ一個体なので e タイプの領域の項 je が対応しそうなものですが、構文解析でみたように、John は walk(s)に文を対応させる作用としての機能をもっていて、文が t タイプなので、et タイプの項を入力とし、t タイプの項を出力とする関数になる…ということのようです。

 以上のことをふまえて文全体の翻訳を考えると、自然言語がAB(BがAに作用してABとなる)だとしたら、λ-h.o.l. の項結合は対応している項をそのまま写して A´B´とすればいいらしいので、John walks は

     (λxet.xet(je))walk´et

となります。なんだか宇宙語みたいです。ブログのタイトルでは小文字指定ができないのでそのまま示しました。あと、考えてみれば「ジョンは歩く」は日本語なので、もう一段階、別の翻訳があることになるでしょうか。

 こんなふうに λ-h.o.l.の項に翻訳されると、λ-h.o.l.の論理としての諸規則が適用できるので、walk´et(je)と整理されます。

 本を参考にしていますが、自分の理解のもとに書いているので、勘違い等に気づいたときは、その都度、訂正させていただきます。
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John が walk(s)に作用する/略式モンターギュ文法

 谷村省吾さんの「物理学者のための圏論入門」()p.5では、圏論の融通無碍さが語られており、aからbへ向かう射fの正体・解釈は固定されていないことについて述べられています。

 それは「aからbへの変化」とも考えられるし、「aからbへの通信・連絡」とも考えられるし、「aからbへのプレゼント」かもしれないし、「aはbの祖先である」「aはbよりも小さい」「aならばbである」という関係かもしれない。

 aとbを結ぶ矢印はいろいろな関係を表すことができる…というわけです。矢印といえば思い出す、『圏論の歩き方』第12章。

 『圏論の歩き方』第12章/見える矢印、見えない矢印
 http://math.artet.net/?eid=1422228

 あらためて読み返すと、次のことが気になってきます。(p.207)
 これらの「見えない矢印」は,実にさまざまの意味をもっています.中でも重要なのは,矢印ABが,
  AがあるからBがある/AがなければBがない
を意味する場合ではないでしょうか.実際,先ほど述べた「代謝のネットワーク」や「遺伝子発現の機構」にはこの種の矢印がふんだんに存在しています.
 これは,一見数学における「AならばB」と似ているようでありながら,異なるものです(むしろ「反対向き」であり,かつ,「順序」や「時間」といったことを捨象しない立場).
 たとえば,AがあるからといってBが「必ず」あるとは限らない.むしろ,「蒔かぬ種は生えぬ」といったような関係をあらわす矢印と見るのが適切です.決定論とは注意深く切り離したうえで,これを「因果関係」と呼ぶことはさほど的外れではないでしょう.
 こういう話になるとまた、宿題にしたまま進展のない仏教の縁起のことを考えたくなるのですが、今回は少し方向を変えてみることにしました。というわけで久しぶりに手にする、清水義夫『圏論による論理学 高階論理とトポス』。

 圏の定義や各種用語の確認でお世話になってきたものの、それ以外の部分はまっっったく理解できないままでした。それがようやくほんの少しだけ面白くなってきました。第1章は関数型高階論理を扱っており、その1ページめで、一階の述語論理が万全なものではないことが述べられています。

 たとえば、「ジョンがメアリーを殴ったことが原因で、メアリーは失明した」を、一階の述語論理で

  P(a,b)⊃Q(b)

  a:ジョン、b:メアリー
  P(x,y):xがyを殴った、Q(y):yは失明した

と形式化して捉えることは、明らかに的確さを欠いているし、そうかといって、事象と事象との因果関係を表わす述語(R(x,y):xはyの原因である)を導入して、

  R(P(a,b),Q(b))

と形式化した場合、この形式化は明らかに一階の述語論理を逸脱している、と。一階の述語論理は強力な論理ではあるけれど、表現力には限界があり、より豊かな表現力をもった論理を用意することが是非必要となってくる…ということで、その一例としての関数型古典高階論理λ-h.o.l.なるものの説明に入っていきます。

 少し先に進んだ§1.4では、λ-h.o.l.の応用例として、略式モンターギュ文法なるものが出てきます。最初に出されている例文は

     John walks.

で、これを構文解析すると「自動詞walk(s)に固有名Johnが作用したことによって生成される文である」とみなされるらしいのです。

 自動詞に固有名が作用して生成される文だなんて、なんだか面白いです。自然言語の表現である自動詞walk、固有名Johnに、それぞれλ-h.o.l.の項を対応させる翻訳規則があり、Johnのほうは関数になっています。なので対応する項にはλが入っています。

 なお、λについては、以前、数教協のブラックボックス風に考えたことがあります↓

 ちょっとだけλ記号に慣れておく
 http://math.artet.net/?eid=1419159

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