TETRA'S MATH

明治14～18年の算術教科書における比例の扱い

　最近、「異乗同除」という言葉を知りました。中世ヨーロッパの商人が使っていた三数法は、中国・日本では「異乗同除」として定式化されていたのだそうです。

　で、「異乗同除」で検索をかけていたら、次の論文を見つけました。

中西正治著　『比例の取り扱いについて(2)明治14年(1881年)から明治18年(1885年)までの算術教科書を対象にして』
＞本文

　これまで見てきた日本の教科書は1900年代に入ってから、つまり国定制度になってからの内容だったので、その前はどうだったのかを知るというのはとても面白いです。まだ内容を詳細には読んでいないのですが。高橋誠『和算で数に強くなる！』の終章を開きつつ時代の流れを考えています。和算が消滅したのが明治20～30年頃だとすると、明治14～18年というのは、和算から洋算にシフトする少し前、あるいはまさにシフト中ということになるでしょうか。

2010.03.11 Thursday

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比例の問題の答えを出すための3つの方法とその意味

　遠山啓著作集『量とはなにか－Ⅰ』p54では、「amでb円の布地は、cmでは何円になるか」という問題の解x＝bc/aを算数で出す方法は三種類あるとして、三数法・倍比例・帰一法があげられています。

　　　（b×c）÷a　･･････三数法
　　　 b×（c÷a）･･････倍比例
　　　（b÷a）×c　･･････帰一法

　三数法はきのうのエントリで示した中世ヨーロッパの商人の比例式の計算方法で、いわゆる「内項の積は外項の積に等しい」という法則を使った計算です。遠山啓は、この方法には、やさしい乗法をさきにやってむずかしい除法をあとでやるという計算上の利点はあるが、その反面、意味の理解がむずかしいとしています。まず、a：c＝b：xという比例式をたてることがむずかしい。a：cはa/cとはちがって、一つの量ではなく二つの量の関係であり、ここに出てくる“＝”は二つの量が等しいということではなく関係の相似ということになるので、このような判断が小学生にはむずしい。また、内項の積と外項の積が等しいということの理由もむずかしく、bc＝axからx＝bc/aをだすのは方程式の解法である、としています。だから中世の商人たちは理由を知らずに機械的に答えをだしていたのだろうし、したがってこの三数法は教育的には適切ではない、と遠山啓は結論づけます。

　では、倍比例はどうか。

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2010.03.08 Monday

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中世ヨーロッパの商人にとっての「比例式」

　正比例関係から“正”と“関係”をとって「比例」にすれば、あるいは“例”もとって「比」にすれば、とたんに話は古代ギリシアっぽくなります。しかし、いまはそこまで遡ることはせず、中世ヨーロッパの商人たちにとっての比例---比例式---をのぞいてみたいと思います。そこに出てくる比例の習慣が、黒表紙時代の教科書に影響を与えているようなのです。また、やわらか頭「江戸脳」をつくる和算ドリル (講談社+α新書)によると、『塵劫記』にも同じような問題が出てきて、同じように解いているそうなのです。

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2010.03.07 Sunday

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和算には「内包量」がなかった話

　やわらか頭「江戸脳」をつくる和算ドリル (講談社+α新書)に、和算にはなかった五つの「常識」という項目があって、面白いです。その五つとは

　　①　算用数字と計算記号、位取り記数法
　　②　「内包量」の概念
　　③　（「外延量」としての）分数
　　④　角度
　　⑤　連続と無限

であり、②に「内包量」というものが出てきます。

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2010.03.06 Saturday

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訂正

　集合数から順序数への移行と、圏の「関手」・3において、

では次に、《かぞえる》という手続きと「関手」の話が、タイルを使った順序数から集合数への移行の話とどう関わるかについて書かれている部分を抜き出してみます（p160）。

と書きましたが、「順序数から集合数への移行」ではなく、「集合数から順序数への移行」の間違いです。失礼しました。（すでに訂正ずみです）

2010.03.06 Saturday

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「量圏」（ｂｙ銀林浩）を考える意義

　話を銀林浩『量の世界・構造主義的分析』（むぎ書房／1975）に移します。この本においては、まず「まえがき」でカテゴリーが出てきており（＞「構造と素子」と、圏論）、次に「第1章　量の一般論」で出てきます（p18）。

…。すなわち，自然界や社会におけるもろもろの法則は，量を対象として記述されるが，他方，新しい量がそのような法則を介して初めて定義される。たとえば，オームの法則は，電圧と電流と抵抗に関する法則であるが，逆にこの法則によって初めて電気抵抗という量が導入されるのである。
　このような関連は，最新数学的用語を借りて，
　　　　　　　　　　カテゴリ的（categoristic）
ということができる。この20年間ほどに形成されてきたカテゴリ（圏）の理論では，対象（object）と型射（morphism）が一体のものとして扱われるが，今の場合，量がその対象で，法則あるいは関数，特に正比例関数が型射に当たるわけである。このことの認識論的意味は，対象とその対象をとらえる手続きとを同時に込みにして考察するということである。

　そして、このことの正確な叙述は第4章§3で，実質的意味は第4章§1で述べられる、と欄外補足がついています。

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2010.03.05 Friday

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ピアジェ『構造主義』の中に出てくる「カテゴリー」

　集合数から順序数への移行と、圏の「関手」・3で示した銀林浩『集合の数学』からの引用部分は、このあと、

「自然数についてばかりでなく、量についても同じことがいえる。つまり、種々の連続量から長さという典型を選び出す手続き、連続量を実数で表現する手続きは、まったく同じように、圏の間を、関手で関係づけていることに他ならない」（要約）

と続き、ピアジェ『構造主義』から次の一節が引用されています。

　A　関手がこんな身近な手続きを表現しているとは，本当におどろきました．
　B　だから，スイスの心理学者ピアジェが近著『構造主義』の中で，「だから，S．パペールが，カテゴリーの中に，数学の操作よりも数学者の操作を把握する努力をみているのも理由がないわけではない．これこそ，その反省的抽象の新しい実例だ．この抽象は，その内容を対象からひき出すのではなくて，その対象にはたらきかける活動から，ひき出す．」（邦訳クセジュ文庫p，35）
と述べているのも，うなづけるというものでしょう．

　私には上記引用部分の内容も、この一節がここで引用されている意味もよくわからなかったでの、ピアジェの『構造主義』の中で、カテゴリーがどのように出てくるかを読んでみることにしました。

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2010.03.04 Thursday

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集合数から順序数への移行と、圏の「関手」・3

　では次に、《かぞえる》という手続きと「関手」の話が、タイルを使った集合数から順序数への移行の話とどう関わるかについて書かれている部分を抜き出してみます（p160）。A（小先生）とB（大先生）の会話になっています。

　ものいい　A（小先生）　圏と関手がこんな初等的なところに現れてくるとはおどろきました．そうすると，小学校1年の入門期の数指導で，「タイル」を有限集合の典型としてとり出していますが，あれなどもこれと同じようなことなのでしょうか？
　B（大先生）　その通りなのです．タイルの集合を対象とし，1つのタイルの集合から他のタイルの集合への自然な埋込みを型射にとって，1つの圏Ｃ´ができますが，おっしゃる手続きは，さきの有限集合の圏ＣからＣ´への関手Ｆ´を考えることに当たるわけです。
　A　ＣからＣ0への関手Ｆの性質（2）
　　　　　F（g○f）＝F（g）○F（f）
が大事のようですが，これが，集合数から順序数への移行のために，入門期に指導する右の図のようなタイルの系列と射影の深い意味なのでしょうね．
　B　そういうことになります．

　文中の右図というのは、次のような図です。

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2010.03.02 Tuesday

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集合数から順序数への移行と、圏の「関手」・2

　銀林浩『集合の数学』（明治図書／1971）p159～160から、《かぞえる》という手続きと「関手」の関係について述べた部分を抜き出してみます。なお、本の中にある圏の記号は、筆記体のようなぐりんぐりんした文字になっているのですが（字体の名前がわからない）、ここではＣで表します。また、N＊の＊は実際は上付きの添え字です。脱字はあえてそのまま表記します。

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2010.03.01 Monday

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集合数から順序数への移行と、圏の「関手」・1

　銀林浩『集合の数学』（明治図書／1971）において、集合数から順序数への移行の話が、圏論の「関手」のところで次の図とともに出てきます（p160）。

　　　

　このことについてしばらく考えていきます。なお、これから考えることは、例にあげた集合も含め、銀林先生の文章を私なりに解釈したものなので、間違っていたり的外れだったりするところも多々あるかと思いますが、とりあえずこんなふうに考えてみたというプロセスとして、記録しておきたいと思います。なお、あとで銀林先生の本文そのものを掲載する予定です。

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2010.02.28 Sunday

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