TETRA’s MATH

ブログの記事を整理しながら思うこと

 ここのところ、比較的大胆に、ブログの記事を整理しています。「これはもういいかな」と思うものを削除したり、非公開にしたり。思えばずいぶん長い間、いろいろなことを書いてきました。

 記事数はもちろんのこと、カテゴリー数も多いので、整理するのをなかばあきらめていたのですが、始めてしまえばそんなに無茶苦茶な数でもないと思えてきました。ちなみにいまの段階で公開しているものが1100ほど、非公開のものをふくめると1450くらいになります。

 整理の作業のなかでしみじみ思うのですが、自分は基本的に、ブログの記事を「つながるもの」として書いてきたようです。そのこと自体はよいのですが、いざ整理するとなると困ることが。

 まず、自分の記事をリンクしているものが多いので、1つの記事を削除すると、そこにリンクを張っている記事も削除するか書き換えなくてはいけなくなってしまい、「こっちは削除したいけどこっちは残したい」というときに迷うこと。

 また、1つの記事や1つのシリーズものを削除すると、前後の流れを断ち切るので、やはり他の記事に影響を与えてしまい、削除か一部書き換えが必要となってくること。

 その結果、すべての記事をチェックする必要が生じているのですが、それを全部やるにはまだまだ時間がかかりそうです。

 さらに、自分の思考のプロセスを記録するのがブログを書く大きな目的だったので、あまり書き換えてしまうのもどうかと思うわけであり。それだったら、そのままの形で非公開にして資料にしたほうがいいのかなぁ、とも思ってみたり。

 などなど、逡巡しながらゆるゆると作業を続けています。

 
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複比例、電気料金の仕組み、電場の強さの単位、電流についての補足

 過去に書いたいくつかのエントリについての補足です。

 まず、かけ算で新しい量をつくる/テンソル積の手前にある複比例についてですが、参照した銀林先生の本『量の世界・構造主義的分析』に、複比例関数の例として人件費の話も出てきていることにあとで気づきました。(p.191〜192)

 労働がすべて等質であるとすると、人件費z円は、労働者の人数、つまり労働力x人と労働時間y時に複比例するという話です。そのなかで人時(man-hour)という単位も出てきていました。私が例に出したお米の話とは違いますが、人泊に近かったこともあり、触れておきたかったので追記します。

 次に、W(ワット)という単位がつく量はどのような量なのか について。このエントリのなかで、
 とにもかくにも、1200Wのドライヤーを月に2時間半使おうが、600Wの電子レンジを月に5時間使おうが、3kWhの電気量を使用したことにかわりはなく、その中身を区別することなく電気料金が請求されます。もっともここに、kWh→円というもうひとつの変換が加わるわけですが。
と書きましたが、これは、電気料金が電力と使用時間に複比例するといいたくて書いたものではないですし、実際に複比例はしておりません。

 電気料金には契約プランやアンペアがあり、基本料金もあり、使用量に応じた料金体系も段階的になっており、さらに燃料費調整額や再エネ発電賦課金があったり口座振替割引があったりといろいろ複雑で、単純に比例関係では考えられません。もっとも、より多くの電力を使えばそれに応じて電気料金は高くなるということは言えるかと思います。いずれにせよここで言いたかったのは、料金は電気使用量に応じて請求されるものであり、何をどのくらい使ったのか、その中身は問われない(と私は認識している)ということです。

 最後の1行「もっともここに、kWh→円というもうひとつの変換が加わるわけですが」というのが、逆に雑な書き方だったようです。失礼いたしました。

 それから、A(アンペア)が先かC(クーロン)が先かについての補足が2点あります。このなかの
電流というのはいかにも外延量的で、だからこそブレーカーが落ちると思うのですが、A=C/sと書くと、まるでAが内包量のように見えてきます。
という記述は、とても違和感を感じさせるものであるらしいということが投稿後にわかりました。それで、以下のように書き方を変えました。
 消費電力が高い電化製品を同時に使うとブレーカーが落ちる“Aという単位がつく量”は、私にとってはいかにも外延量的なのですが、A=C/sという式は、普通に考えれば内包量を表す式ということになるのでしょう。
 わり算というだけでは内包量創出といえないことをそのひとつ前のエントリでも書いていますが、とにもかくにもここまで話がくると、外延量・内包量の区別があまり意味をなさない、少なくとも私の理解の助けにはならない、というのがここでの主旨です。

 遠山啓も、これらの区別をきっちりつけさせることを目的としていたのではないと私は考えます。なので、遠山啓らの目的は目的として、それとは別の意味で、そろそろ私にとっては量の区別が意味をなさなくなってきた、それよりも量どうしの関係や、量が段階的に組みあがっていることに興味が向かっている、ということを書きたかったのでした。

 それから、図のなかの「E」についてですが、よくよく本文を読んでみれば、「電流の単位A(アンペア)」「電気量の単位C(クーロン)」「電場Eの単位」「電圧の単位V(ボルト)」「電気抵抗の単位Ω(オーム)」という書き方がしてあるので、電場Eの単位そのものの意味として便宜的に「E」という表記が使われているのではないかという理解にいたりました。なお、このEも図の中のEもイタリック体ではないです。それより前のEはイタリック体になっているので、こちらは量記号を表しているものと思われます。(いずれもp.191)

 最後に、cal(カロリー)とはどのような単位なのか運動や生活活動の強度の単位「METs(メッツ)」とはなんなのか についての小さな訂正です。前者で、
 で、calの何が難しいかというと、たとえば、14.4℃から15.5℃までという温度指定が出てきたりするのです。
と書きましたが、これは「14.5℃から15.5℃まで」の間違いでした。また、後者では「軽いジョギング」を5メッツとしていましたが、6メッツの間違いでした。どちらも訂正済みです。失礼いたしました。

 なお、今回はいろいろあったのでまとめて補足・訂正させていただきましたが、今後は、大きなことでなければ、そのつど、もとのエントリを修正あるいは補筆させていただきたいと思います。

 以上、補足でした。
量の話 | permalink

運動や生活活動の強度の単位「METs(メッツ)」とはなんなのか

 calのことを考えたので、この機会にメッツについてみていきたいと思います。生活費からははなれますが、別の意味で生活に直接関わる量といえます。

 メッツというのは、運動や生活活動の強さを示す尺度のことであり、私は石川善樹『最後のダイエット』で知りました。2015年の6月くらいのことです。「掃除機をかける」「調理や食事の準備」といった日常的な家事についてもメッツが示してあり、こういうのってありがたいなぁ…と思ったものでした。

 それまではメッツのことを知らなかったので調べようもなかったのですが、知った今、ネットで検索するとたくさんひっかかってきます。

 どうやら2006年に厚生労働省が生活習慣病予防のために示した指標のようですが、さかのぼれた国内のそれらしき文書は確かに2006年がいちばん古いです。世に出てからけっこう時間がたっているのですね。

 メッツは、安静時を1として、それぞれの活動・運動がその何倍になるかで示されます。たとえば、普通の歩行は3メッツ、自転車に乗るのは4メッツ、軽いジョギングは6メッツというふうに。検索すると、けっこう細かくあれこれ示したメッツ表がひっかかってきます。

 また、メッツに時間をかけたものにはエクササイズ(Ex)という単位があてられているようです。つまり、メッツは「強さの単位」、エクササイズは「量の単位」ということになります。

 『最後のダイエット』では消費カロリー算出のための単位として出てきていて、その場合、正確には「メッツ×体重×1.05=1時間あたりに使ったカロリー」という計算式になるようです。計算のしやすさを考えると×1.05は省略しても問題なさそうですが、その1.05がどこからきているのかには興味があります。

 ちなみに、カロリーまでもっていかなくても、エクササイズの量だけでも使えます。週に23Exを心がけましょう、というふうに。カロリーを出すには体重が関わってくるので、必要な身体活動量を個人の体重に関係なく示すためにメッツとエクササイズを用いていることが「健康づくりのための運動指針2006〜生活習慣病予防のために〜」にも書いてありました。

 エクササイズという単位を基準に考えると、たとえば1エクササイズの運動として、20分歩くことと、15分自転車に乗ることと、7〜8分水泳をすることが等価になります。

 そのようなメッツの使い方のページはあれこれひっかかってくるものの、メッツそのものの誕生・普及の経緯や数値の出し方についての詳しいページはまだ見つけられていません。とりあえず2000年のアメリカの論文がありそうだということと、メッツが出てくるかどうかわからないけれど1993年の文献も関わっていそうだというところまでは見当がついたのですが、それ以上のことはわかっていません。

 いまのところ、ウィキペディアの「運動強度」のページと「Metabolic equivalents」のページを参考にしています。ここで出てくるMETがいま考えてるメッツと同じものであるという前提のもと。

 後者ではMETというふうにsなし表記になっており、前者ではsがつくのは複数形と説明しています。1MET、2METs、3METs、…ということでしょうか。なんだか不思議な感じがしますし、考えようによっては興味深い表記の仕方です。どうしようか迷ったのですが、このブログではいっそ「メッツ」のカタカナ表記でいくことにしました。

 後者のページをみてみると、4.184という数値を含む式が示されていて、calのことを勉強したおかげでこの数値にひるまなくてすむのがうれしいなぁと思いました。しかしまじまじと眺めているうち、つくづく不思議な計算式だと感じました。

 『最後のダイエット』でメッツを知ったときには、日常活動のメッツの数値(3.3、2.0、1.8というように、小数点以下第一位まで示されている)がありがたくて気がつかなかったのですが、考えてみれば、体重をかけるだけで1時間のおおよその消費カロリーが出てくるなんて、なんだかすごい話に思えてきました。そうなるとますます1.05の背景を知りたくなってきます。

 先ほどのページにもどると、式の直前に 3.5ml O2・kg^(−1)・min^(−1)という量が見られ、これに該当するであろう話が前者のページに書いてあります。これでいくと、メッツは有酸素運動の強度として、単位時間、体重1kgあたりの酸素摂取量をもとにしているということになるでしょうか。

 calというのはもともと、水の比熱が1となるようにつくられたものだと先日勉強しました。そして、いろいろな定義があるらしいこともわかりました。それがいったいどういうふうに消費カロリーに結びつくのか、やはりメッツの背景の計算式をもう一歩踏み込んで知りたい気分です。

 なお、後者には58.2W/m^2という量も出てきますが、難しそうなので、とりあえずそういうものがあるということだけ頭に入れておきます。

 とにもかくにも、また新しい○/(△□)の形の単位に出会えて面白かったです。

 それにしても思うことは。

 こういう単位はどのように作られ、どのように認められ、どのように普及していくのかということ。

 まさかつくったもの勝ちということはないですよね⁉ でも、つくれたらすごいですよね。単位の名称に人名由来のものがいくつもあることをあらためて思い出しています。単位の名前が「〜に因む」というとき、だれがどのタイミングで名前をつけているのでしょうね。いずれにせよ、その単位があることで何かが便利になるから誕生・普及していくのでしょう。

 国際単位系やcalについて調べているときには、規模が大きかったり、慣れ親しんでいることで、逆にそういうことに思いを馳せるところまでいきませんでしたが、メッツという馴染みのない、新しいといってもいいかもしれない単位と出会ったことで、単位というのは見出されるものであり、つくられるものなのだなぁ……ということをあらためて感じています。

量の話 | permalink

cal(カロリー)とはどのような単位なのか

 生活費の総点検中に出会った単位について考えています。

 次に、ガスです。ガスの使用量はm^3という単位でお知らせがきますが、実際にガスを使うときには、給湯器なりガスコンロなりを通して熱に変換して使っているので、そのままでは計算できません。

 まず、給湯器に関しては「水をお湯にするため」にガスを使っているわけなので、どのくらいの量の水をどのくらいの温度だけあげているか…ということから、ガスの使用量を計算することになりました。

 そこで出てくるのがcalという単位。このcalがなかなか難しいのです。最初は、水1gを1度あげるのが1calという計算をすればいいと思っていたのですが、調べるうちに、そう言い切ってはいけないような気がしてきて、生活ブログのほうでは「とりあえず考えてよさそう」でお茶をにごしました。

 そういえばあのとき、1Lの重さの換算のことをすっかり忘れていました。もっとも、使用時間がものすごく適当なので、そういうことを気にできるレベルの計算にはもともとなっていないのですが。

 で、calの何が難しいかというと、たとえば、14.5℃から15.5℃までという温度指定が出てきたりするのです。温度によって同じ1度でも必要なcalが変わるというのはなんとなく納得できますが、それが温度によってどのくらい違ってくるのか、その程度もわからないし、とにかくその定義のしかたがわからない。

 そうこうするうち、calの定義にはいろいろあることがわかってきました。なお、現在この単位は、使ってよい対象が限定されているもよう。しかし…というか、だからというか、生活のなかでは J や m^3 より、よほど馴染みがあります。

 銀林先生の『量の世界・構造主義的分析』にcalの話も載っていて(p.175〜176)、calは水の比熱が1となるように決められていたこと、ジュールの実験によって、熱量はエネルギーの1つの形態である熱エネルギーに他ならないことがわかったこと、その結果によると、1calは4.1855Jに等価であること、1948年の国際度量衡会議以来、熱量の単位としては、基準温度によって大幅に変わるあいまいなcalをできるだけ用いないで、Jに統一することにしたことなどが書いてあります。

 そして、3600/860を含む式が出てきます。「逆にcalは,……とすることに決めたのであった」というふうに、3600/860から約4.18605を導き出す式になっています。おそらく、1kWh=860kcalの860だと思うのですが、この860がどこからきたのか、何が「逆に」なのかは、まだよくわかっていません。

 なお、現在の計量法は1992年制定であり、いま参照している銀林先生の本は昭和50年、つまり1975年の発行なので、当時は旧計量法であったと思います。

 そんなこんなで、銀林先生の本ですでに 4.1855 と 4.18605 の2通りの数値が出ており、他の数値も見かけて、この微妙な違いはなんなんだろう…と首を傾げていました。

 結局のところ、calの定義はいろいろあるし、実験から求められた数値もあるし、歴史的変遷もあるし、J/cal にあたるこれらの数値がいろいろあっても不思議はないのかもしれないなぁ…という理解にとりあえずいまは落ち着いています。そして現在は(熱力学カロリーとしては?)4.184で定義されている、と。

 ガスの話にもどると、都市ガスの1m^3あたりの発熱量は(ある条件のもと)45メガジュールだそうで、calとMJの換算ができるのならば、m^3として出せそうです。実際には1MJが約239kcalであるところからもっていきました。

 この数値はネットで探してきたものですが、1calを4.184Jとして計算すると1kcalが4184Jとなるので、1Jは、1÷4184×10^6=239.0…より、約239kcalという数値が出てくることは出てきます。

 calについて、まだもやもやした部分はありますが、「そういうことになっているらしい」ですませていた239という数字の背景が少しわかったのはよかったです。

 一方、ガステーブルコンロのほうは、取扱説明書にガス消費量がkWで示されています。12A、13A、LPガス用のほか、標準か強火力かグリルか全点火時かで12通り示してあります。

 となると、今度はkWをm^3までもっていかなくてはなりませんが、これは J をかませることで計算できそうです。電気のところでみたように W=J/s なので、1時間=3600秒から、1kWhを3.6MJとして計算してみました。

 今回は比熱について考えるところまでいきませんでしたが、比熱容量の単位をJの場合で表すと J/(kg・K) という形になるということは頭に入れておきたいと思いました。

 calについては煮詰まってきたので、ここらでいったんアップしてみます。また新たなことを知ったり、自分の勘違いがわかったら追記します。

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A(アンペア)が先かC(クーロン)が先か

 まず、最初に訂正を。前回、SI単位系という書き方をしていましたが、これはちょっとおかしい書き方だとあとで気づきました。国際単位系と書くか、SIと書いたほうがよさそうですね。今後しばらくは国際単位系と書いていきます。

 さて、前回、W(ワット)という単位がつく量について考えました。これがもし外延量だとすると、合併が加法につながる量だということになります。はたして、Wのつく量をつなげることはできるのか?

 そこではたと思ったこと。エアコンと衣類乾燥機とドライヤーを直接つなげることはできないけれど、エアコンと衣類乾燥機とドライヤーを一緒に使うと、わが家のブレーカーは落ちるじゃないかということ。契約アンペアが20Aなのです。

 そう、今度はA(アンペア)という単位が出てきます。堂々のSI基本単位。そうなるとV(ボルト)も気になりますが、こちらの単位を確認してみたところ、W/Aから導き出された形でした。
→ m^2・kg・s^(−3)・A^(−1)

 Wという単位がつく能力をもつ電化製品も、使い始めたとたん、Aという単位がつく量に変わるのでしょうか。あるいは、使い始めたとたん、Wにsがかかって、電力量という量になるということなのでしょうか。

 考えてみれば、エアコンにしろ衣類乾燥機にしろドライヤーにしろ、電流そのものを直接私が使っているわけではなく、それを温度変化なり風なり回転なりなんなりの形に換えてくれたものを使っているわけであり、その「なんなりの形」がそれぞれの家電の役割ということになるのでしょう。

 そう考えると、自分が生活をするなかで、ほんとうにいろいろな量に関わっており、また、それらの量たちがお互いに絡み合っているのだなぁ…としみじみ思います。

 さて、銀林先生の『量の世界・構造主義的分析』では、p.131で A=C/s という式が出てきます。この式の形をみると、アンペアがクーロンで説明されているように見えます。電流は単位時間に流れる電気量(クーロン)によって表される、と。

 しかし、1948年の国際度量衡総会の決定では、むしろ、この電流アンペアを基本単位にとって、電気量クーロンは、1アンペアの電流が1秒間に運ぶ電荷と定義している、と話は続くのです。実際、2006年の文書でもC(クーロン)の単位はsAと表されています。

 消費電力が高い電化製品を同時に使うとブレーカーが落ちる“Aという単位がつく量”は、私にとってはいかにも外延量的なのですが、A=C/sという式は、普通に考えれば内包量を表す式ということになるのでしょう。>補足

 そういうふうに考えていくと、外延量・内包量の区別で量を考えていくのは難しくなってきます。もちろん、いま私がやりたいことは、この区別にとことんこだわることではなく、否定することで何かの主張をなし得たと思うことでもなく、自分をとりまく豊かな量の世界を感じ、それについて考えようとすることです。

 そのひとつの手がかりとして、外延量・内包量という区別を採用してみたわけですが、そんなこんなで、そろそろはなれようと思います。がしかし、はなれる前にひとつ書いておきたいことがあるのです。

 このエントリのタイトルの「A(アンペア)が先かC(クーロン)が先か」の「先」というのは、存在としての先ではなく、定義としての先を意味したものでした。したがって、「鶏が先か卵が先か」の話とは違うと最初は思っていました。しかし、違うといえば違うけれど、つながっている話ではある…と思いなおしました。

 私は国際単位系を意識しはじめたばかりのころ、メートルの定義に秒が含まれていることがひっかかったり、微妙に循環論法に感じられる記述があるのが気になったりしていました。

 しかし、ウィキペディアの「国際単位系」のページに「単位の定義に求められるのは何より実用性、すなわち現在の社会生活に必要かつ十分な精度を持ち、定義値が容易に実現できることである。このため、定義の独立性は意味を持たない」と書かれてあるのを読み、「そうだよなぁ」と納得したのでした。

 実際、国際単位系の2006年日本語版にも、七つの基本量は便宜的に独立であると考えられているけれども、多くの場合、互いに依存しているということを知っておく必要がある、といったことが書かれてあります。

 それで、私が書きたかったのは何かというと、内包量の存在のことです。内包量の定義は難しく、こと数教協の文脈でいくならば「外延量どうしのわり算で得られる量」だとするのがいちばんわかりやすいと私は思ってきました。

 なお、遠山啓はそのように定義はしておらず、“強さ”の量とか、合併から加法がでてこない量とか、そんな感じの説明をしています。また、算数に出てくる内包量は外延量÷外延量の形になるものが多い、という書き方をしていることもあります。(遠山啓著作集・数学教育論シリーズ5のp.108、110)

 ちなみにこういう話のときに合併という概念が出てくるのは、初等教育でとりあつかう量は、なにかの物体もしくは物質の一側面を表す指標であり、物体もしくは物質そのものではない、と遠山啓が考えるからだと私は理解しています(同上p.107)。逆にいえば、量の背後にはかならず物体もしくは物質が存在している、ということになります。

 そういうわけなので、内包量を、外延量÷外延量で得られるものととりあえず定義しているのは私なのですが、もしそうだとしたら、内包量は外延量のあとにくるものだということになります。しかし私は、内包量は内包量そのものとして存在しているのではないか…と考えていることを、書いておきたかったのでした。

 このあたりの話は、結局、内包量そのものと、内包量の数値化を同じと考えるかどうかという話に帰着するのかもしれません。

 さて、それはそうとして、量の単位の関係を考えていると、これらの関係を図に表したくなってきます。実際、銀林先生の本でも、電気関係の単位の系統が図示されているところがあります(p.191)。本に書かれてあるものを自分でかきおこしてみました↓



 「E」は電界の強さを表す単位だと思うのですが、どんな記号なのか、なんとよむのかわかりませんでした。国際単位系にも見つけられず。上の図のなかでは単位の記号を示していると思うのですが…。そうそう、量の話を読むときには、心をしっかりしておかないと、量記号と単位記号がごっちゃになりそうになります。>補足

 それにしても、単位って、人の名前からきているものが多いですね。先ほど、内包量はそれそのものとして存在していると思うと書いたばかりなのに、やっぱり量が量となるのは、人の営みとともにあるからなのかもしれなぁ…と、さっそく前言を撤回…まではいかないけれど、保留にすることになりそうです。

 

〔2020年1月28日〕リンク整理のため、記事の一部を削除・修正しました。

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W(ワット)という単位がつく量はどのような量なのか

 遠山啓著作集を読んでいましたが、最近、生活費の総点検をするなかでいろいろな単位に出会ったので、ここらで少しつっこんで考えてみることにしました。

 電気やガスや水道の使用量の内訳を考えるとき、W、kWh、J、cal、L、m^3などの単位が関係してきますが、まずはじめに電気の計算をするなかで W を kWh にしながらふと思ったのは、W のつく量は数教協でいうところの内包量にあたるのかな…ということでした。

 WはSI単位系ではあるけれど基本単位ではなく、その他の単位や基本単位を組み立てて表すことになるようです。基本単位ではない J を使うのなら J/s となり、この J(ジュール)はガス使用量を算出するときにお世話になりました。

 まずは基本単位の確認から。

   長さ: メートル m
   質量: キログラム kg
   時間: 秒 s
   電流: アンペア A
   熱力学温度: ケルビン K
   物質量: モル mol
   光度: カンデラ cd

 その J 自体もSIの基本単位ではなく、力の単位であるN(ニュートン)を使って、N・mと表せるようです。N、J、Wを順に表していくと次のようになります。

   N → kg・m/s^2
     → m・kg・s^(−2)

   J → N・m
     → m・kg・s^(−2)・m
     → m^2・kg・s^(−2)

   W → J/s
     → m^2・kg・s^(−2)/s
     → m^2・kg・s^(−3)

 こういう話になると手にしたくなるのが、銀林先生の『量の世界・構造主義的分析』です。Wについて書いてあるところを読んでみると、W=J/sを示したうえで、「これは毎秒1Jの仕事をする速さのことである」と書いてあります(p.128)。

 さらに、J について書いてあるページにとぶと、そこはかつて複比例について考えたとき(↓)に参照したページの直後でした。

 かけ算で新しい量をつくる/テンソル積の手前にある複比例

 銀林先生の本では、複比例を考えるにあたり運送料の例がとりあげられていました。貨物の運送料が貨物の重量と輸送距離に複比例すると考えれば、重さと長さをかけたものが「輸送量」を意味している、という話です。

 そして、このような重量×長さと同種の量は物理学では仕事(work)として知られている、と話は続いていきます。「仕事=力×長さ」として。このあとcgs単位系、MKS単位系などの話が出てきて、N、J、Wが登場します。

 さて、Jはエネルギー、仕事、熱量、電力量の単位ですが、数教協的にいえばこれは外延量と考えてよいのでしょう。銀林先生は先の本のなかで、エネルギーは物理学に出てくる最も外延的な外延量だと書かれており(p.189)、常に加法的であるとしています。また、エネルギー保存則にも触れています。

 電気使用量を計算するときは、JではなくkWhという単位になりますが、同じ種類の量だと考えれば、月々の電気料金の請求が1つのkWhの数値からなされることがわかるように、加法的であるというのはよくわかります。

 なお、kWhとJの関係については、後日、ガス使用量の計算でみていきます。

 とにもかくにも、1200Wのドライヤーを月に2時間半使おうが、600Wの電子レンジを月に5時間使おうが、3kWhの電気量を使用したことにかわりはなく、その中身を区別することなく電気料金が請求されます。もっともここに、kWh→円というもうひとつの変換が加わるわけですが。>補足

 というわけで、時間をかけてはじめて電力量となれる「Wという単位がつく量」、仕事率とも呼ばれるこの量は、ますます内包量に思えてきます。

 しかし。

 「力×長さ」は、「重量×長さ」と同種の量とされているのです。数教協風にいえば、「外延量×外延量」である、と。複比例のときに見たように、外延量どうしの積で新しい量が作られるのがあのとき新鮮だったわけですが、こうして作られた新しい外延量は加法性をもっているので、これもまた外延量ということになろうかと思います。

 ということは。「外延量÷外延量=外延量」ということがありうるのだということを、いまさらのように意識したしだいです。そうなると、外延量でわると内包量になる外延量と、外延量でわると新しい外延量ができる外延量がある、ということですよね。

 これまで、外延量というのは合併がそのまま加法を表す量のことだと理解してきました。こちらのほうはまあいいのですが、内包量の説明はなかなか難しく、「そうでない量」とするのもあいまいなので、外延量どうしのわり算で得られる量だ、としてきたことが多かったように思います。

 しかし、外延量どうしのかけ算で外延量が得られることを知ったいま、外延量どうしのわり算で得られる量を内包量とは言えなくなってしまいました。複比例のときには、複内包量という言葉が出てきましたが、複外延量という言葉はないのでしょうか。

 こうなってくると、外延量・内包量という分類では語れなくなってきそうです。

 それにしても、SI単位系を見ていると、量の次元って便利で面白いなぁということと、量というのはお互いに関係しあっているのだなぁ…ということをしみじみ感じます。

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7年越しの「時間の正体」

 郡司ペギオ幸夫『時間の正体 デジャブ・因果論・量子論』をはじめて手にしたのはいつだったのか確認したら、2010年でした。時の過ぎるのはなんとはやいこと…というよくある言い回しも、この本を手にしているときには口にするのを一瞬ためらいます。

 いまあらためてページをめくってみると、郡司さんが何をしようとしているのか、そのおおまかな骨子がようやく見えてきたと感じます。見えてしまえばやるべきことはシンプルでした。そのシンプルなことがとても難しい。

 まず難しいのは第3章、マルコポーロさんの議論の理解です。マルコポーロといっても13世紀に旅をしたあのマルコポーロではなく、現代の物理学者のマルコポーロさん。『時間の正体』第3章の組み立ては、次のようになっています。

 3−1.マルコポーロとマクタガート
 3−2.因果集合と因果的歴史
 3−3.時間を評価するジ―ブ
 3−4.因果的歴史の時間モデル
 3−5.因果的歴史モデルとしての束
 3−6.排中律の破れ

 いまとなっては、この組み立てを見ただけで、何かわかったような気になります。

 第3章の結論は、私の目からみるとあっけないものでした(郡司さんも「突飛な結論でもあるまい」と書かれています)。これを言うためにそんなに大がかりなことをしなくてはいけなかったの!?と感じた私。その大がかりさがけして不快ではないとはいえ。

 マルコポーロさんが出した結論(郡司さんの解釈経由、私の理解)とは、「過去でも未来でもない時間というものが、内的限定観測者にとっては実在する」というものです。上記3−6のタイトルでそのいわんとすることのおおまかなイメージがつかめるのではないでしょうか…と、いまなら言えます。

 郡司さんはこの本で圏論を前面に出していませんが(用語をそのまま使っていない)、マルコポーロさんは実際に圏論を使っていると私は認識しています。たとえば subobject classifier を思わせる図なども示されています。

 また、郡司さんが最初に{内側,外側}というモデルをつくったのは、マルコポーロさんの論文での{1,0}にあたるもので、これは最初に話をわかりやすくするためにブール代数を採用したのだろうと理解しています。

 それが『時間の正体』第3章では途中からジーブなるものにかわり、このジ―ブがなんなのかかつて悶々としました。そして sieve なることばに行きつきました。いまだ定義はわからぬまま。

 どうやらこの sieve という言葉には「ふるい」という意味があるようで、実は遠山啓の著作集にも出てきます。

 一方、それはそれとして、「やっぱり随伴関係を少し勉強しておいたほうがいいのかな……」と思うにいたり、清水義夫『圏論による論理学』でヒーヒー言いながら勉強するうち、それを具体的に感じるために、これまでスルーしていた「巾」とその1つの定理の理解が必要になり、それをまたヒーヒー言いながら勉強しようとしていたら、相対擬補元なる概念に遭遇したのです。

 補元については、『時間の正体』を読んでいたこともあり、テーマのひとつとえいばひとつになっていたものの、そこに相対と擬がつくのはどういうことなんだ……? と本をはなれて検索してみると、どうやら直観主義のハイティング代数関連の概念らしいと判明。

 もちろん、直観主義はマルコポーロさんの議論と直結している話なので、別に不思議もなんでもないことだし、相対と擬がつくことから検索前に気づいてよさそうなものなのに、気がつかなかったのです。そして気づいてしまうと、自分のなかで「ははーん、そういうことね」という声がきこえました。

 結局私は、大きな旅はしていないようです。近所の半径15mくらいの散策を続けているみたい。だから、てくてく歩いていくだけ。だけど、指先1僂寮こΔ鬚里召ために虫めがねが必要なこともあるし、それより小さい世界は顕微鏡がないと見えない。そのツールをときどきちょっと変えているだけなんだなぁと、このたび思いました。

 そういえば久しぶりに、金子洋之『ダメットにたどりつくまで』もひっぱりだしてきていました。下記のエントリを書いたのも2010年。郡司さんの本にダメットの名が出てきているところがあったので、その関係で手にしたのでしょうか。

 数学はメンタルな「行為」だと主張した人:ブラウワー
 http://math.artet.net/?eid=1402034

 半径15mを散策するのに、一生かかりそうです。

圏論 | permalink

量の次元

 前回、同じ量のお米を、いろいろな数値と単位の組み合わせで示せることについてみていきました。体積と重さ、尺貫法とメートル法、SI単位とそうでないものをごちゃまぜにして考えましたが、あらためて考えてみれば、体積と重さの違いと、尺貫法とメートル法の違いとは、同じ「違う」でもその違いかたが違いますね。

 どれがいちばん"違うっぽい"かは一概にはいえませんが、やはり体積と重さの違いは、とーっても違うという感じがします。他のことは、取り決めは大変だとしても、ストレートな換算のイメージがあるのに対し、「体積←→重さ」の場合、「お米ならば…」という前提が必要になってくるので。

 同じ1合でも、水だったりお酒だったりすると、数字が違ってくることでしょう。お酒の種類によっても違ってきそうです。つまり比重や密度の問題がかかわってくるのであり、g/^3 という新しい単位が必要になるわけであり。

 「長さと重さ」のような質の違いが、どうやら量の次元と関わるらしいのです(ここで「質」という言葉を使うのは、銀林浩『量の世界・構造主義的分析』の影響を受けてのこと…かもです)。

 個人的には、次元ときくと、1次元、2次元、3次元、…が浮かびますが、「量の次元」はちょっと趣が異なるみたい。というわけで、国際単位系(SI)をのぞいてみることにします。

 SIで使用される基本量7つ(長さ、質量、時間、電流、熱力学温度、物質量、光度)と、そのそれぞれの次元の記号が載っています。他の量はこれらの基本量によって組み立てられ、組立量の次元は基本量の次元のべき乗の積で表されるとのこと。

 無次元もしくは次元1の話も出てきています。これがいわゆる「ディメンジョンがない」というやつですね、きっと。数教協いうところの「率」。速さや密度のような異種の量がつくる内包量(こちらは「度」)ではなく、2つの物体に属する1種類の量からつくられる内包量。

 遠山啓は、ディメンジョンがない量を区別するため、「度」と「率」を分けたのでした。

 考えてみれば、秒速8m も 8秒 も 8 も 8g も 8^3 も 8g/cm^3 も、みんな「8」という数を使っているのに、どういう単位がつくかで量の質がまったく違ってくるのが面白いです。

 式でいえば、4×6=24 は、4m×6m=24m^2 かもしれないし、4m^2 × 6m = 24m^3 かもしれないし、4m/秒 × 6秒 = 24m かもしれない。

 24÷4=6 は、24m^2÷4m=6m かもしれないし、24g ÷ 4cm^3 =6g/cm^3 かもしれないし、24m ÷ 4m/秒 = 6秒 かもしれない。

 ということを、『数理科学』の谷村省吾さんの連載を読みながら考えています。もちろん、上記のようなことが書かれているわけではありません。この連載で「ベクトル空間の枠」なるものと初めて出会い、最初は「何それ!?きいてないよー!」となったのですが、どうやらこの枠が量の単位と関わってくるらしいのです。

 「枠」とは何かというと、雰囲気は「基底」に近いのですが、基底よりもしばりがあるもののようです。そのしばりというのは、並び順のこと。気づいてみれば、基底って順序は関係なかったのね。

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単位の森/180000と2.5をつなぐお米の事情

 前回、かけ算で新しい量をつくることを考えるにあたり、お米の量を題材として取り上げました。まずは「1合」で、そして「150g」で。150gという数値は実測から導いたわけではなく、検索してだいたいそのあたりらしいと知りました。ふだんは計量カップではかるだけで、重さを意識したことがなかったので。

 「とりあえず」150gで設定することになったのは、米1合はジャスト150gではないという意識があったからなのですが、mLなら180ジャストかというと、そうでもないらしいのです。検索したら180.39という、これまた中途半端な数値が出てきました。

 1人1泊1合にしたのは、「人数×宿泊数」にそのまま「合」をつければよいため簡単なのと、それなりにリアルな量だからということがありました。そして条件は同じのまま150gという量に変えることもできます。比例定数としては1より150のほうがわかりやすいかと思います。

 そういう意味では、150gじゃなくて180mLにすることもできるし、180佞砲癲180cm^3にもできます。「合」が尺貫法の体積の単位であることを考えると、同じ「体積」という量に換算したほうが自然といえば自然かもしれません。でも、はかりやすいのは重さかな。

 大量になったときにはどうすればいいかというと、kg や L という単位がいてくれます。あるいはこの際、どーんと「俵」で考えてみる!?

 「あれ?そういえば"俵"って…」と調べかけて、こういうことしてるとまた単位の深い森に迷い込みそうだと感じたので引き返すことにして、同じ量を示すいろいろな数値と単位についてもう少し考えることにします。

 たとえば、50人が20泊する合宿で必要なお米の量1000合は、1合を150g、180mLと考え、1俵=4斗=40升=400合とすると、150000gでもあり、150kgでもあり、0.15tでもあり、180000mLであり、180000佞任△蝓180000cm^3であり、0.18m^3であり、180Lであり、100升であり、10斗であり、2.5俵でもあることになります。

 重さだったり、体積だったり、単位系が違ったり…と状況は様々ですが、とにかくこれらのどれでオーダーしても、同じ「量」といっていいであろうお米が用意されるというのがなんだかおもしろいです。「1000」と「150」と「150000」と「0.18」と「2.5」はまったく違う数値なのに。もっとも、体積と重さを「同じ」というのはちょっと反則っぽい気がしないでもありません。

 単位のことを考えると、いつも頭がくらくらしてきます。と同時に、「単位って社会的なものなんだなぁ」としみじみ感じます。

 あっ、先日「木と森」についてのエントリを書きましたが、今回の表題の「森」という言葉はそのことは意識せずに書きました。俯瞰するのではなく、迷い込んだら自分がどこにいるのかよくわからなくなる場所というイメージで。

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かけ算で新しい量をつくる/テンソル積の手前にある複比例

 「これまで出会ったなかでいちばんわかりやすい圏論の説明」でも書いたように、谷村省吾さんは現在、3か月に2回のペースで、月刊誌『数理科学』に連載記事を書いておられます。
http://www.saiensu.co.jp/?page=magazine&magazine_id=1

 「幾何学から物理学へ 物理を圏論・微分幾何の言葉で語ろう」というタイトルで続けられているその記事の第5回、「テンソル積の普遍性」のオープニングをはじめて読んだとき、「助かるなぁ〜」という印象をもちました。

 そして、「物理学者のための圏論入門」に触発されて思い出したことを書いたいま、この数行があらためてじわじわときています。谷村さんが、「異種の物理量を組み合わせて新種の物理量を生み出す」という言葉を使われていることについて。

 つなぐものの存在感/比例定数とアクリルたわし圏のラストで書いたように、数教協がいうところの内包量は、外延量のわり算でつくることができます。

 ならば、かけ算でも新しい量をつくれるのではないか?

 …って、そんなに気負わなくてもすぐに思いつくのは、面積のこと。たての長さ、よこの長さという2つの量のかけ算でつくられる「面積」という量は、これはこれでかけ算によってつくられる新しい量なのでしょう。

 あるいは、秒速8mで3秒間進んだときに進む道のり 8×3=24(m)も、「かけ算によってつくられた量」といっていいのかもしれません。しかし、このなかの「8」が「2つの量のわり算でつくられた量」なのだとしたら、8×3=24は「もとになっている量(のなかまの量)を出してくるかけ算」という雰囲気があり、このままの状況では"新しくつくった感"がありません。

 秒速8mが「使える量」であるように、かけ算でも「使える量」がつくれないだろうか? その使い方の意味は違うとしても。

 ということを考えるにあたり、複比例を学ぶことにします。森毅『線型代数 生態と意味』と銀林浩『量の世界・構造主義的分析』を参考文献にして。

 まずは比例についておさらいしておきます。比例とは、小学校風にいえば、xの値を2倍、3倍、…したときに、それに対応するyの値も2倍、3倍、…になるような関係のことでした。また、中学校風にいえば、比例定数をaとして、y=axの形で表される関数のことです。

 複比例になるとどういうことになるかというと、2つの数量と、そのそれぞれに比例するもう1つの量との関係なので、変量が3つになり、文字が3つ必要になります。

 3つの文字を x、y、z とすると、数教協風にいえば、ブラックボックスの入力側から x と y を入れたとき、出力側から z が出てきて、x が一定なら z が y に比例し、y が一定なら、z が x に比例するような、そんな関数のことです。

 森毅『線型代数』でも銀林浩『量の世界・構造主義的分析』でも、「荷物を運ぶときにかかる料金」を例にとって複比例を説明しています。荷物の重量 x t、輸送距離 y 劼函運送料 z 円の関係。もっとも、世の中の運送料は、こんなにぱっきり比例関係で決められてはいないことでしょう。銀林先生も次のような注釈をつけておられます。

 もちろん,現実の社会においては,遠距離逓減性とか,重さが何tから何tまではいくらといった階段規定が設けられていて,今述べたことが厳密に成り立つとは限らないが,それでも,基本は上述のようであって,これらのさまざまの規定がそれからの変則であることは,常識的にもわかることである。

(銀林浩『量の世界・構造主義的分析』p.184)

 荷物の重量が一定で輸送距離が2倍になれば、運送料も2倍になる。輸送距離が一定で荷物の重量が3倍になれば、運送料も3倍になる。このとき、xy をひとまとめで考えることができれば、z=a(xy)という、比例のような式がつくれそうです。

 ということを考えていきたいのですが、やはりどうにもこの例はしっくりこないので、別の場面で考えることにしました。それは、「合宿のために用意するお米の量」です。もっとも、これはこれでフィクションになってしまうかもしれません。なお、この例を思いついた背景についてはのちほど書きます。

 とある合宿では、1人が1泊するとき、米1合を用意しなければならないとします。1人が3泊するときには3合必要だし、5人が1泊するときには5合必要です。なので、10人が2泊する場合は、20合のお米を用意する必要があります。

 この場合、x 人が y 泊するときに準備するお米の量 z 合は、z=xy という式で表せます。

 なので、2人が6泊しても、3人が4泊しても、12人が1泊しても、必要なお米の量は12合で同じです。お米を用意する側からみれば、何合必要かだけがわかればいいので、「3人が4泊」から「4人が3泊」に変更になったとしても、特に困ることはありません。

 では、お米の量を「合」ではなく「g」で考えるとどうなるでしょうか。お米1合の重さをとりあえず150gで設定すると、z=150xy という式ができます。単位は、xが「人」、yが「泊」、zが「g」。150gというのは、1人、1泊分のお米の重さです。

 もし、xyをひとまとめに考えてもいいのだとしたら、その単位は「人泊」としたいところです。実際、この単位は世の中で使われているらしいのです。

 合宿の夕食で毎晩、新鮮なお刺身を用意しなくてはならず、そのためのお魚を考えるのならば、1人が15泊するのと15人が1泊するのとではだいぶ状況が違ってきますが、お米だったらどちらも15合用意すればいいわけで、先ほども書いたように状況の違いは問題ではなく、「15人泊」という事実がわかればいいわけです。(もっともお米の場合も、期間がもっと長くなると話は別ですが)

 では、y=150xyの「150」は何かというと、1人が1泊するときに必要なお米の重さなので、単位をつけるとすれば「g/人泊」ということになりそうです。このような量のことを、銀林先生の本では「複内包量」とよんでいます。1つの外延量を、2つの外延量でわって得られる内包量です。

 y=8xの「8」を「使える量」というならば、z=150xyの場合は「150」がそのなかまになるのかもしれません。しかし、「150」が「8」と同じ立場になれるのも、xyをひとまとめとして変数のように扱えればこそだと思うのです。

 なんてったって、「数教協いうところの外延量」どうしのかけ算です。

 この「人泊」を使おうと思ったおおもとのきっかけは、谷村さんがテンソル積を説明されるなかで、人が働く仕事量の例を出されていたことでした。『理工系のためのトポロジー・圏論・微分幾何〜双対性の視点から〜』にもその話が出てきていて、「人月」という単位が登場します(p.152)。

 この発想は、複比例で2つの量の積を考えることにそっくりです。実際、森毅の本でも、複比例のあとにテンソルを配置する組み立てになっています(銀林先生も複比例の欄外注でテンソル積に触れておられます)。

 ということは、複比例の一歩先にはきっと、テンソル積があるのでしょう。

 今回はテンソル積を理解するところまではいけませんでしたが、「かけ算によって新しく量をつくる」ということを実感できたことが、大きな収穫となりました。

追記:補足エントリがあります。

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